椭圆与直线相交

Question

过点M(1,1)的直线与椭圆x^2/4 + y^2/3 =1 相交于A,B两点
若M是AB的中点 (1) 求 直线AB的方程 (2) 求直线AB的长
请各位大大们解出答案 …

Answer 1

解：可设A（x1，y1）B（x2，y2）
由于M（1,1）是A、B的中点，所以：（x1+x2）/2=1,(y1+y2)/2=1……①
又由于A、B又在椭圆上，满足椭圆方程(x1)²/4+(y1)²/3=1 ……②
(x2)²/4+(y2)²/3=1……③
②-③：((x1+x2)(x1-x2)/4)+((y1+y2)(y1-y2)/3)=0……④
将①代入④可得：(x1-x2)/2=-2(y1-y2)/3……⑤
由⑤可得：(y1-y2)/(x1-x2)=(y2-y1)/(x2-x1)=-3/4
所以：直线的斜率为K=-3/4
用点斜式：直线AB为y-1=-3/4(x-1) 整理后：AB：3x+4y-7=0……⑥
(2)将直线⑥与椭圆方程联立：经整理得：21x²-42x+1=0……⑦
又：A、B两点既在椭圆上，又在直线上。所以x1、x2即为方程⑦的根
所以：x1+x2=2 x1*x2=1/21
由⑥知：y=（7-3x）/4
y2+y1=(14-3(x1+x2))/4=1/2 y1*y2=(7-3*X1)(7-3*X2)/16=13/28
|AB|²=（(y2-y1)²+(x2-x1)²）=((y2+y1)²-4y1y2+(X2+X1)²-4*X1*X2）=(185/84)
即|AB|=√（185/84）

Answer 2

(1)
这里对于M是中点可以设A(x1,y1)，B(x2,y2)
x1^2/4 + y1^2/3 =1 x2^2/4 + y2^2/3 =1
相减：（x1^2-x2^2）/4 +（ y1^2-y2^2）/3=0
（y1-y2)/(x1-x2)=(-3/4)(x1+x2)/(y1+y2)=-3/4
直线斜率为-3/4，直线方程式y-1=-3/4(x-1)
(2)联立方程21x^2-42x+1=0
|AB|^2=（1+（3/4)^2) |x1-x2|^2=25/16((x1+x2)^2-4x1x2)
|AB|=5√105/21