求助两道相似三角形的数学题

Question

1.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高。证明：△ADE∽△ABC(用两种方法证明)
2.已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于E。求证：AB:AC=DF:AF

Answer 1

1.方法1
证明：因为BD垂直AC于D
所以角BDC=90度
因为CE垂直AB于E
所以角BEC=90度
所以角BEC=角BDC=90度
所以E,B.C.D四点共圆
所以角AED=角ACB
角ADE=角AC
所以三角形ADE和三角形ABC相似 （AA)
方法2
证明：因为BD垂直AC于D
所以角BDC=90度
因为CE垂直AB于E
所以角BEC=90度
所以角BEC=角BDC=90度
所以E.B.C.D四点共圆
所以:AE*AB=AD*AC
AE/AD=AC/AB
因为角A=角A
所以三角形ADE和三角形ABC相似（两对应边成比例，且夹角相等）
2，证明：因为AD垂直BC于D
所以角ADB=90度
角ADC=90度
因为点E是AC的中点
所以DE是直角三角形ADC的中线
所以AE=DE
DE=EC
所以角EDC=角C
因为角ADC+角DAC+角C=180度
所以角DAC+角C180-90=90度
因为角BAC=角BAD+角DAC=90度
所以角BAD+角DAC=角DAC+角C
所以角BAD=角C
所以角BAD=角EDC
因为角BDF=角EDC(对顶角相等）
所以角BDF=角FAD
因为角F=角F
所以三角形FBD和三角形FDA相似（AA)
所以BD/AD=DF/AF
因为角ADB=角ADC=90度（已证）
角BAD=角C(已证）
所以三角形ADB和三角形ADC相似 （AA)
所以AB/AC=BD/AD
所以AB：AC=DF：AF

Answer 2

1
方法一
△ADB∽△AEC（易证，直角三角形有一个公共角A）
所以，
AD：AE=AB：AC
即，AD：AB=AE：AC
又∠A=∠A
△ADE∽△ABC
方法二
∠BEC=∠BDC=90°
B、C、D、E四点共圆、
∠ADE=∠ABC、∠A=∠A
所以，△ADE∽△ABC

2、
因为AD⊥BC
所以△ABD∽△BCA
所以AB/AC=BD/AD，∠BAD=∠ACB
因AD⊥BC，E为AC中点
所以：DE为中线，∠EDC=∠BDF=∠ACB
所以：∠BAD=∠BDF，∠F为公共角
所以：△FBD∽△FDA
所以，DF/AF=BD/AD
所以，AB：AC=DF：AF追问

我想知道什么是四点共圆，我们没学过这个阿。。

追答

四点共圆是初三的知识，你要没学过就算了。
我换一种方法。

第二种方法：
做BC中点G 连EG DG
可证明 ∠B+∠AED=∠C+∠ADE
又∠B+∠C=∠AED+∠ADE
可以证明∠B=∠ADE ∠C=∠AED
又∠A=∠A
所以，△ADE∽△ABC

（这个方法还是用到了四点共圆）

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Answer 3

1:证三角形abd相似三角形aec
2：转化ab：ac=bd：ad 再证三角形bdf相似三角形adf （提示：de=ce）