åæ²çº¿(Hyperbola)æ¯æä¸å¹³é¢ä¸ä¸¤ä¸ªå®ç¹çè·ç¦»ä¹å·®çç»å¯¹å¼ä¸ºå®å¼çç¹ç轨迹ï¼ä¹å¯ä»¥å®ä¹ä¸ºå°å®ç¹ä¸å®ç´çº¿çè·ç¦»ä¹æ¯æ¯ä¸ä¸ªå¤§äº1ç常æ°çç¹ä¹è½¨è¿¹ã
å¨å¹³é¢ç´è§åæ ç³»ä¸ï¼äºå
äºæ¬¡æ¹ç¨f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以ä¸æ¡ä»¶æ¶ï¼å
¶å¾å为åæ²çº¿ã ãã1.aãbãcä¸é½æ¯é¶. ãã2. b^2 - 4ac > 0. ãã3.a^2+b^2=c^2 ããå¨é«ä¸ç解æå ä½ä¸ï¼å¦å°çæ¯åæ²çº¿çä¸å¿å¨åç¹ï¼å¾åå
³äºxï¼y轴对称çæ
å½¢ãè¿æ¶åæ²çº¿çæ¹ç¨éå为ï¼x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
æ¤åæ¯å¹³é¢ä¸å°ä¸¤å®ç¹çè·ç¦»ä¹å为常å¼çç¹ä¹è½¨è¿¹ï¼ ä¹å¯å®ä¹ä¸ºå°å®ç¹è·ç¦»ä¸å°å®ç´çº¿é´è·ç¦»ä¹æ¯ä¸ºå¸¸å¼çç¹ä¹è½¨è¿¹ã
é«ä¸è¯¾æ¬å¨å¹³é¢ç´è§åæ ç³»ä¸ï¼ç¨æ¹ç¨æè¿°äºæ¤åï¼æ¤åçæ åæ¹ç¨ä¸çâæ åâæçæ¯ä¸å¿å¨åç¹ï¼å¯¹ç§°è½´ä¸ºåæ è½´ã ããæ¤åçæ åæ¹ç¨æ两ç§ï¼åå³äºç¦ç¹æå¨çåæ è½´ï¼ Fç¹å¨Xè½´
ãã1ï¼ç¦ç¹å¨Xè½´æ¶ï¼æ åæ¹ç¨ä¸ºï¼x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) ãã2ï¼ç¦ç¹å¨Yè½´æ¶ï¼æ åæ¹ç¨ä¸ºï¼y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0) ããå
¶ä¸a>0ï¼b>0ãaãbä¸è¾å¤§è
为æ¤åé¿åè½´é¿ï¼è¾çè
为çåè½´é¿ï¼æ¤åæ两æ¡å¯¹ç§°è½´ï¼å¯¹ç§°è½´è¢«æ¤åææªï¼æ两æ¡çº¿æ®µï¼å®ä»¬çä¸ååå«å«æ¤åçé¿åè½´åçåè½´æåé¿è½´ååçè½´ï¼å½a>bæ¶ï¼ç¦ç¹å¨xè½´ä¸ï¼ç¦è·ä¸º2*(a^2-b^2)^0.5ï¼ç¦è·ä¸é¿.çåè½´çå
³ç³»ï¼b^2=a^2-c^2,å线æ¹ç¨æ¯x=a^2/cåx=-a^2/c ï¼c为æ¤åçåç¦è·ã ããååï¼å¦æä¸å¿å¨åç¹ï¼ä½ç¦ç¹çä½ç½®ä¸æç¡®å¨Xè½´æYè½´æ¶ï¼æ¹ç¨å¯è®¾ä¸ºmx^2+ny^2=1(m>0ï¼n>0ï¼mâ n)ãå³ Fç¹å¨Yè½´
æ åæ¹ç¨çç»ä¸å½¢å¼ã ããæ¤åçé¢ç§¯æ¯Ïabãæ¤åå¯ä»¥çä½åå¨ææ¹åä¸çæ伸ï¼å®çåæ°æ¹ç¨æ¯ï¼x=acosθ ï¼ y=bsinθ ããæ åå½¢å¼çæ¤åå¨(x0ï¼y0)ç¹çåçº¿å°±æ¯ ï¼xx0/a^2+yy0/b^2=1
æ¤åçä¸è¬æ¹ç¨
ããAx^2+By^2=Cï¼A>0ï¼B>0ï¼ä¸Aâ B)
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¸çå®ä¹ï¼ä»(a,b)å°R3ä¸çè¿ç»æ å°å°±æ¯ä¸æ¡æ²çº¿ï¼è¿ç¸ å½äºæ¯è¯´ï¼(1.)R3ä¸çæ²çº¿æ¯ä¸ä¸ªä¸ç»´ç©ºé´çè¿ç»åï¼å æ¤æ¯ä¸ç»´çã(2.)R3ä¸çæ²çº¿å¯ä»¥éè¿ç´çº¿ååç§ææ²å¾å°ã(3.)说åæ°çæ个å¼ï¼å°±æ¯è¯´æ²çº¿ä¸çä¸ä¸ªç¹ï¼ä½æ¯åè¿æ¥ä¸ä¸å®ï¼å 为æ们å¯ä»¥èèèªäº¤çæ²çº¿ã
åºæ¬å
¬å¼
ãã设æ£åæ²çº¿Cçåæ°æ¹ç¨ä¸ºr=r(s)ï¼sæ¯å¼§é¿åæ°ï¼p(s)æ¯æ²çº¿Cä¸åæ°ä¸ºså³åå¾ä¸ºr(s)çä¸ä¸ªå®ç¹ãQ(s+Îs)为Cä¸é»è¿pçç¹ï¼Q沿æ²çº¿Cè¶è¿äºpæ¶ï¼å²çº¿pQçæé æ²çº¿
ä½ç½®ç§°ä¸ºæ²çº¿Cå¨pç¹çå线ãè¿pç¹ä¸å线åç´çå¹³é¢ç§°ä¸ºæ²çº¿ Cå¨pç¹çæ³å¹³é¢ãæ²çº¿Cå¨pç¹çå线åCä¸é»è¿ç¹Rç¡®å®ä¸ä¸ªå¹³é¢Ï,Ïçæéä½ç½®ç§°ä¸ºæ²çº¿Cå¨pç¹çå¯åå¹³é¢ï¼å®å¨pç¹çæ³çº¿ç§°ä¸ºæ²çº¿Cå¨pç¹ç次æ³çº¿ï¼æ²çº¿Cå¨pç¹çå线å次æ³çº¿å³å®çå¹³é¢ç§°ä¸ºæ²çº¿Cå¨pç¹çä»åå¹³é¢ãpç¹çæ³çº¿ç§°ä¸ºæ²çº¿Cå¨pç¹ç主æ³çº¿ï¼å¾2ï¼ã ããæ²çº¿ ãã以"·"表示å
³äºå¼§é¿åæ°sç导æ°,并ä¸è®¾ æ²çº¿
ããé£åb(s)=t(s)Ãn(s)åå«æ¯æ²çº¿Cå¨p(s)ç¹çå线ã主æ³çº¿å次æ³çº¿ä¸çåä½åéï¼å¹¶ä¸t(s)æåæ²çº¿ Cçæ£åãn(s)æåæ²çº¿å¹å
¥çä¸æ¹ãt(s)ãn(s)åb(s)ææ¤é¡ºåºææå³æç³»ï¼ä¸åå«ç§°ä¸ºæ²çº¿Cå¨p(s)ç¹çååéã主æ³åéå次æ³åéã{r(s),t(s),n(s),b(s)}称为æ²çº¿Cå¨p(s)ç¹çå¼é·å
æ æ¶ãæ²çº¿ ããCçæ¯ä¸ç¹é½æå¼é·å
æ æ¶ã为ç 究æ²çº¿ä¸ä¸¤ä¸ªé»è¿ç¹ä¸å¼é·å
æ æ¶ä¹é´çåæ¢å
³ç³»ï¼è¦è®¨è®ºt(s)ãn(s)åb(s)å
³äºsç导åéï¼å®ä»¬å¯ç±æ æ¶åé线æ§è¡¨åºï¼è¿å°±æ¯ä¸è¿°æ²çº¿è®ºçåºæ¬å
¬å¼ï¼å¼é·å
å
¬å¼ï¼ï¼ æ²çº¿
ããå¼ä¸k(s)åÏ(s)åå«è¢«ç§°ä¸ºæ²çº¿Cå¨p(s)ç¹çæ²çåæ çãæ²ç ããæ²ç ããè¿æ¯ååét(s)åt(s+Îs)ä¹é´ç夹è§ãæ
æ²ç度éäºæ²çº¿ä¸ç¸é»ä¸¤ç¹çååéç夹è§å
³äºå¼§é¿çååçãç´çº¿çæ²çæ为 0ãåå¨çæ²ççäºå
¶åå¾çåæ°ãå½æ²çº¿Cå¨p(s)ç¹çæ²çkâ 0æ¶ï¼å¨p(s)ç¹ç主æ³çº¿ä¸æ²¿n(s)çæ£ååç¹Qï¼ä½¿å¾pQ=1/k,å¨pç¹çå¯åå¹³é¢ä¸ä»¥Q为ä¸å¿ï¼1/k为åå¾çå称为æ²çº¿Cå¨pç¹çæ²çåæå¯ååï¼Qå1/kåå«ç§°ä¸ºæ²çä¸å¿åæ²çåå¾ãå¯ååæ¯è¿æ²çº¿Cä¸p(s)ç¹åé»è¿ä¸¤ç¹çåçæéä½ç½®ãæ ç ããæ çã æ²çº¿
ããï¼å®çç»å¯¹å¼ æ²çº¿
ãã度éäºæ²çº¿ä¸é»è¿ä¸¤ç¹ç次æ³åéä¹é´ç夹è§å¯¹å¼§é¿çååçãå¹³é¢æ²çº¿æ¯æ çæ为é¶çæ²çº¿ã空é´æ²çº¿å¦ä¸æ¯è½å¨ä¸å¹³é¢ä¸ï¼å称为æ æ²çº¿ã ããè¥p0(s0)ç¹çæ²çåæ çåä¸ä¸ºé¶ï¼åp0为åç¹ï¼æ²çº¿çå线ã主æ³çº¿å次æ³çº¿ä¸ºåæ è½´ï¼å¨p0éè¿ï¼æ²çº¿å¯è¿ä¼¼å°è¡¨ç¤ºä¸ºï¼ æ²çº¿
ããæ以æ²çº¿Cå¨p0ç¹é»è¿çè¿ä¼¼å½¢ç¶ã
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