试图证明:实数域上的有限维向量空间不能写成有限个真子空间的并集.
具体地,用 R 表示实数域,令 V=R^n, 令 A_1 , ... , A_r 是 V 的真子空间,即不等于V的子空间.那么 A_1 , ... , A_r 的并集不等于V.
请问是不是一定成立呢?请证明或举反例.
注记:
(1) r=2时成立. 两个真子空间 A_1,A_2 的并显然不等于V.
(2) 估计实数域可以换成任意一个无限域(特别,任意一个特征零域).
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谢谢你的帮忙!不过这里正是我不懂的:
>>>3. X_{k-1}和A_k互不包含
>>>取y属于X_{k-1}\A_k,z属于A_k\X_{k-1},那么y+z不属于X_k
为什么 y+z 一定不属于X_{k-1}呢??请注意X_{k-1}不是子空间,所以关于加法不一定封闭.
例如,令V=R^2,令A_1,A_2,A_3分别是由(1,1),(1,0),(0,1)生成的一维子空间,
y=(1,0),z=(0,1)就符合上面的条件,但是它们的和属于A_1,从而属于X_2.
关于解析我只能算初学者.
刚才写错了,应该是存在z属于A_k\X_{k-1}使得y+z不属于X_k
构造很容易,先任取z0属于A_k\X_{k-1},那么z0, 2z0, ..., kz0中至少有一个可以作为满足要求的z,因为对A_i而言,最多只有一个常数a使得y+a*z0属于A_i,其直观的几何意义就是直线和超平面最多只有一个公共点(若没有包含关系)