量词和命题联结词之间的一些蕴含式的推导: “这些学生都聪明或这些学生都努力可以推出这些学生都聪明或

Question

量词和命题联结词之间的一些蕴含式的推导:
“这些学生都聪明或这些学生都努力可以推出这些学生都聪明或都努力”，但反过来不一定成立。这是左孝凌版离散数学的量词公式的蕴含式的基础，想请人解释一下为什么这句话“反过来不一定成立”。

Answer 1

你的这个命题多了一个“都”字：应该是
这些学生都聪明或这些学生都努力可以推出这些学生都聪明或努力

其实这是下面这个永真公式的应用
Q₁₃ ∀xA(x)∨∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x)∨B(x))

反过来，是不一定成立的。
可以举个反例，这些学生共2个人，其中学生甲聪明不努力，学生乙努力不聪明，
后者成立，但前者不成立。追问

谢谢！虽然并不是完全从您的说法里面得到了自己最想要的解答，但是仍然给了自己启示。比原先更明朗了。