证明:
1.
f 的任意阶导数也连续。
因为 f(1/m)=f(1/(m+1))=0 所以存在 1/(m+1)< x_1_m<1/m, 使得 f'(x_1_m)=0, m=1,2,...
x_1_m --> 0, 所以 f'(0)=lim(m-->无穷大)f'( x_1_m)=0
归纳法:
设存在 x_n_1>x_n_2>... >0 使得 f的n阶导数 在 x_n_i, i=1,2,.. ,处=0,x_n_m -->0. f的n阶导数 在 x=0处=0
于是,任给 m>0, 存在 x_n_(m+1)<x_(n+1)_m<x_n_m,使得 f的n+1阶导数 在 x_(n+1)_m处=0,
于是 根据 f的n+1阶导数 在 x=0处=0.
所以 f(0)任意次导数=0
2.
任给 x, 任给正整数n. 存在 t 使得:
f(x)=f(0)+f的1阶导数(0)/1! + f的2阶导数(0)/2! + f的n-1阶导数(0)/(n-1)! + f的n阶导数(t)/n!
= f的n阶导数(t)/n!
==》
|f(x)| <= M/n!
令 n--> 无穷大, 得 f(x)=0
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