高数泰勒公式求极限

Question

lim(x→0)1/x（1/x－cotx）

Answer 1

lim[x→0] (1/x)(1/x - cosx/sinx)
=lim[x→0] (1/x)(sinx-xcosx)/(xsinx)
=lim[x→0] (sinx-xcosx)/(x²sinx)
分母等价无穷小代换变成x³
因此分子泰勒公式需展到x³
sinx=x-(1/6)x³+o(x³)
xcosx=x[1-(1/2)x²+o(x²)]=x-(1/2)x³+o(x³)
则sinx-xcosx=(1/3)x³+o(x³)
因此：原极限=lim[x→0] [(1/3)x³+o(x³)]/x³=1/3

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Answer 2

先通分，然后再做。