图所示，一个无限电阻网络，图中所有电阻阻值均为1Ω，求ab间的等效电阻

Question

如题所述

Answer 1

像要用到级数

设第2条支路后的等效电阻为r，则总的电阻为R（2R+r）/(3R+r)

对于收敛的级数来说，多一条支路和少一条没有区别

所以r=R（2R+r）/(3R+r)

解得：r=(√3-1)R

R=1欧姆

则r=（√3-1）欧姆

至于为什么收敛，数学上可以证明，物理上因为这个电阻确实是存在的，而且这个电阻值唯一，所以必然收敛

Answer 2

在支路a和b的导线上各加一个R=1欧姆的电阻，这样就构成一个无穷循环网络。
ab间的等效电阻就等于这个无穷循环网络的等效电阻减去2R。
而这个无穷网络的电阻可以用下面的思路计算。
如果每个电阻的阻值为R
假设加上两个电阻之后AB之间的等效电阻为r
由于这样的单元有无穷个，我们在AB之间再加一个单元，于是有无穷加1个单元。而无穷加1还是无穷，所以加一个单元等效电阻还是等于r。
将AB之间的部分等效为一个阻值为r的电阻，加上一个单元后，就变成r和R并联，再和两个R串联，而总的电阻还是r。
所以有1/（1/R+1/r）+2R=r
整理一下得到r*r-2Rr-2R*R=0
解这个一元二次方程得r=R+√3R或者R-√3R。√3代表根号3，而R-√3R小于0，应该舍去。
所以AB之间的等效电阻为R+√3R=（1+√3）R
根据前面的分析，这个图上ab之间的等效电阻等于（1+√3）R-2R，而R=1欧姆。
所以ab之间的等效电阻等于√3-1

Answer 3

利用无穷大，设ab间电阻为x。那么从a端向右的第二个节点和从b端向右的第二个节点间右边的等效电阻也是x（因为本来有无穷多个循环，少一个循环单位，右边还是和之前一样的无穷多个循环单位，电阻也一样就是x了），那么就是ab间的电阻从这个角度讲就是（1+x+1）的电阻和一个1欧的电阻并联，也就是（（1+x+1）*1)/((1+x+1)+1)=x从这个方程就可以解出x就是答案了~