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在如图所示的多面体中,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,四边形ABCD是菱形.(1)求证:AD⊥平面
在如图所示的多面体中,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,四边形ABCD是菱形.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1(2)求该多面体的体积.
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推荐答案 2014-11-29
(1)证明:∵正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
,∴BB
1
⊥AD
∵四边形ABDC是菱形,∴AD⊥BC
又BB
1
,BC?平面BB
1
C
1
C,且BC∩BB
1
=B
∴AD⊥平面BCC
1
B
1
(2)正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的体积为V
棱柱
=S
△ABC
×AA
1
=
1
2
×2×2×
3
2
×2=2
3
;
∵AD⊥平面BCC
1
B
1
,∴四棱锥D-B
1
C
1
CB的高为
1
2
AD
∴四棱锥D-B
1
C
1
CB的体积为V
棱锥
=
1
3
×2×2×
3
=
4
3
3
∴该多面体的体积V=V
棱锥
+V
棱柱
=
10
3
3
.
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