定积分计算题:积分区域是0-2pi，积分函数是sin^2 (t) *cos^2 (t)

Question

积分区域是0-2pi，积分函数是sin^2 (t) *cos^2 (t)
参考书里好几道都有推算到类似式子，然后一步就出答案……完全不知道怎么算出来的啊- -

Answer 1

做代换x=π-t，∫[0,2π](sint)^2 (cost)^2 dt=∫[-π,π](sinx)^2 (cosx)^2 dx
=2∫[0,π](sinx)^2 (cosx)^2 dx (被积函数是偶函数，区间对称）
=2∫[0,π/2](sinx)^2 (cosx)^2 dx + 2∫[π/2,π](sinx)^2 (cosx)^2 dx
=4∫[0,π/2](sinx)^2 (cosx)^2 dx = 4∫[0,π/2]{(sinx)^2 -(cosx)^4}dx
一般对于在区间[0,π/2]的上述积分，通常用公式：
∫[0,π/2](sinx)^ndx=∫[0,π/2](cosx)^n=
n为偶数：=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*.......*2/4*2/π
n为奇数：=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*.......*1/3。 这就是一步给答案的原因

Answer 2

sin²t cos²t = sin²t ﹣(sint)^4
利用几何意义, 对于n为偶数，有： ∫ [0,2π] (sint)^n dx = 4 ∫ [0,π/2] (sint)^n dx
设 I(n) = ∫ [0,π/2] (sint)^n dx = ∫ [0,π/2] (cost)^n dx
当n为奇数 I(n) = (n-1)!! / n!!
当n为偶数 I(n) = [(n-1)!! / n!! ] * π/2
例如：I(5) = 4*2 / (5*3*1) = 8/15,
I(4) = 3 / (4*2) * π/2 = 3π/16
I(6) = [ 5*3*1 / (6*4*2) ] * π/2 = 5π/32

Answer 3

∫sinˇ2(t)cos^2(t)dt＝∫¼sin^2(2t)dt＝⅛∫(1－cos(4t))dt 后面会了吧，如果会了分给我吧，手机打半天了