已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC垂直CB，D为AB中点，A1A=AC=根号3，CB=1。(1)求证：BC1平行于平面A1CD；(...

Question

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC垂直CB，D为AB中点，A1A=AC=根号3，CB=1。(1)求证：BC1平行于平面A1CD；(2)求三棱锥C1-A1DC的体积

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC1，设AC1∩A1C=E，连接DE
∵A1B1C1-ABC是三棱柱，
侧棱AA1⊥底面ABC．
且AC=AA1=根号3
∴AA1C1C是正方形，E是AC1中点，
又D为AB中点
∴ED∥DC1
又ED⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD
∴BC1∥平面A1CD
（II）在平面ABC中过点D作AC的垂线，交AC于H．由于
底面ABC⊥面ACC1A1，
且AC为两平面交线，
∴DH⊥面ACC1A1．
△ABC中，AB=2，所以∠BAC=30°，且AD=1．
在△ABC中，HD=ADsin30°=
由于S△AC1C=3/2，
所以VD-AC1C=1/3•DH•S△AC1C=1/3•1/2•3/2=1/4
∴由等积法可得VC1-A1DC=VD-AC1C=1/4．