高等代数计算题:已经知道F2[x]的线性变换σ(a+bx+cx^2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x^2

Question

1.σ是否可以对角化
2.如果可以，求F2[x]的一组基使得σ在该基下的矩阵是对角矩阵

越详细越好，算错不要紧，关键告诉我方法

Answer 1

解: 考虑σ在基 1,x,x^2 下的矩阵
σ(1,x,x^2)=(4-3x-3x^2,6-5x-6x^2,x^2)=(1,x,x^2)A
A =
4 6 0
-3 -5 0
-3 -6 1

求得A的特征值为 1,1,-2.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(-2,1,0)^T, a2=(0,0,1)^T
故A可对角化, 进而σ可以对角化
(A+2E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-1,-1)^T

令P=(a1,a2,a3)=
-2 0 1
1 0 -1
0 1 -1
则P可逆, 且 P^-1AP=diag(1,1,-2)
令 (b1,b2,b3)=(1,x,x^2)P=(-2+x, x^2, 1-x-x^2)

则 σ(b1,b2,b3)=σ(1,x,x^2)P=(1,x,x^2)AP=(1,x,x^2)PP^-1AP=(b1,b2,b3)diag(1,1,-2)
所以 σ 在基 -2+x, x^2, 1-x-x^2 下的矩阵是对角矩阵 diag(1,1,-2).

Answer 2

是否可以对角化主要是看特征值和对应的特征向量。
由题意，σ(a+bx+cx^2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x^2
＝k(a+bx+cx^2)，即k是特征值，a+bx+cx^2是对应的特征向量，
则比较系数有
4a+6b=ka
－3a－5b=kb，
－3a－6b+c＝kc，
由此由线性代数方程组理论知识可解得
k＝1（二重）或k＝－2，
由此对应的特征向量是（－2，1，0）和（0，0，1）对应的k＝1；
（－1，1，1）对应的k＝－2，于是
原问题对应k＝1有两个线性无关的特征向量e1=－2+x，e2＝x^2，
对应k＝－2有特征向量e3＝－1+x+x^2，这三个多项式是F2[x]的一个基，
在此基下σ是对角的，即
σ(e1，e2，e3)=(e1，e2，e3)D，D是对角阵，对角元是1，1，－2。