如何求正交变换？

Question

如题所述

Answer 1

求正交变换能用配方法。

正交变换

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。

因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。

可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。正交变换的逆变换也是正交变换，后者的矩阵表示是前者矩阵表示的逆。

知识拓展：

n级实矩阵A称为正交矩阵，如果ATA=AAT=E。(AT表示A的转置矩阵，E是单位矩阵)。正交矩阵的行（列）均为单位向量，且任意不同的两行（列）均正交（内积为0）；矩阵行列式丨A丨=±1。

设A是n维欧氏空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵。若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，包括空间内的平移、旋转以及二者的复合。若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换，包括空间内的反射以及反射变换与第一类正交变换的复合。

第一类正交变换不改变直角坐标系的定向，即左（右）手系变换后仍是左（右）手系。注意：丨A丨=±1是变换σ成为正交变换的必要不充分条件。