矩阵和的秩小于等于秩的和，这句话是对的。
矩阵的秩定义为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的个数。如果两个矩阵A和B的秩分别为r（A）和r（B），那么它们的和A+B的秩r（A+B）满足：r（A+B）≤r（A）+r（B）。
证明这个不等式，我们可以考虑将矩阵A和B的行向量或列向量分别进行线性组合，使得组合后的向量在A+B中对应的元素为0。这样，我们可以用r（A）+r（B）个线性无关的行或列向量表示A+B的所有元素，因此A+B的秩不超过r（A）+r（B）。
A+B的秩不超过r（A）+r（B），这个性质在矩阵运算和矩阵分解的应用中非常重要，它表明当我们对两个矩阵进行加法运算时，其秩不会超过原始矩阵秩的和。
矩阵和的秩小于等于秩的和在矩阵运算中的应用：
1、矩阵分解：在矩阵分解算法中，我们经常需要计算矩阵的和以构造新的矩阵。由于矩阵和的秩小于等于秩的和，我们可以确保在分解过程中不会丢失任何重要的信息。
2、最小二乘问题：在解决最小二乘问题时，我们经常需要通过求解线性方程组来找到最佳解决方案。如果两个矩阵的秩和较小，那么它们的和的秩更有可能较小，这使得求解方程组变得更加高效。
3、数值稳定性：在数值计算中，如果能够控制矩阵的秩，那么就可以提高数值稳定性。例如，在计算矩阵的逆时，如果原始矩阵的秩较大，那么直接计算可能会引入较大的误差。
4、稀疏矩阵：在处理稀疏矩阵时，秩的信息可以帮助我们更好地理解和优化矩阵的结构。例如，如果一个稀疏矩阵可以表示为几个秩较小的矩阵之和，那么我们就可以通过只存储这些秩较小的矩阵来减少存储空间的需求。
5、特征值：在计算矩阵的特征值时，如果能够控制矩阵的秩，那么就可以提高计算的精度和稳定性。例如，在计算特征值时，我们通常需要将矩阵对角化。如果矩阵的秩较小，那么对角化的过程就更容易控制，从而提高了计算的精度和稳定性。