概率论与数理统计题目

Question

X服从标准正态分布，求Y=|X|的概率密度。
我用的是反函数法，求的结果与答案不一样。
还有这里X=±Y，的正负号该如何处理，反函数法能用吗？
解法二中结果是将f(y1)与f(y2 )相加吗？

Answer 1

解法一：
分布函数法
F(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)
当y<0时，F(y)=0
当y>=0时，F(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=P(-y<=X<=y)=2Φ(y)-1
所以
f(y)=(F(y))'=(2Φ(y)-1)'=√(2/π）*e^(-y^2/2),y>=0
f(y)0,y<0

解法二：
公式法
y>=0时，
X=Y时，用公式法可得f(y)1=1/√(2π）*e^(-y^2/2)
X=-Y时，用公式法可得f(y)2=1/√(2π）*e^(-y^2/2)*|-1|
然后相加，
f(y)=√(2/π）*e^(-y^2/2),y>=0
f(y)0,y<0

解毕

Answer 2

要用公式法的话要注意是否单调，如果不单调的话，要分开做