楼上几位说的都存在不同程度的问题。楼上说的在概念上有问题，例子也给举错了，y = |x| 在 (-1,0]上定义时，在x = 0处的左导数是存在的，就等于-1，是可导的，而右边的导数虽然没有定义，但是不能因此就认为在这点不可导。在端点处可导的定义就是存在单一方向的导数就可以了，左端点存在右导数，右端点存在左导数，就叫做在端点可导。楼主要问的不可导不是说因为没定义不可导，而是要在可以计算导数的情况下，确实算不出来，才叫做端点不可导的。楼上可以仔细看我下面这个例子，在左端点处理论上是可以计算右导数的，但是算出来是无穷大，这才叫做不可导。
我来告诉你一个绝对正确的例子：函数y = sqrt(x) （就是y = 根号x）在[0,1]上的情况就符合你说的，在左端点x = 0连续但不可导，这是因为你求导后
导函数的分母里含有x，导数为
f'(x) = 1/(2sqrt(x))，显然没法代入x = 0来求在x = 0处的右导数（你用导数定义求也会得到一样的结果，右导数是无穷大，即不存在）。连续不用我说了吧肯定是成立的。所以函数在x = 0处连续，但不可导。
还有什么问题继续追问吧。连续可导这块是
微积分里的基本定义，一定要搞清楚，否则很容易做题出错，这点绝对不可以马虎。很多人只是知道可导必然连续，连续不一定可导，像背口诀一样，但还是没有理解背后的逻辑。像
闭区间连续但端点不可导这个条件是非常严格的，不是随便说一下口诀就完了。一楼说的完全不对，可导就是必然连续的，不管是在端点还是在哪儿都成立。我可以严格地证明给你看。二楼回答的不是楼主要问的，楼主也不用考虑。
我上面哪里有问题都欢迎你继续提问。 由于不知道你要我讲多详细，所以我就先回答这么多，你有兴趣，觉得我说的对，我们还可以继续探讨。我非常确信我上面所说结论的正确性，这么多年学数学这点要是还没搞明白那就可以回家卖红薯了。