一个函数有任意阶倒数，是该函数能展开泰勒公式的充要条件吗？

Question

高数书上只说了：
有任意阶倒数的函数，其拉格朗日余项趋近于零，是该函数可以展成泰勒级数的充要条件。
但是书上没说：一个函数有任意阶倒数是否为该函数能展成泰勒公式的充要条件。
所以我想问 一个函数有任意阶倒数，是该函数能展开泰勒公式的充要条件吗？

Answer 1

不是，反例是：
f(x)=e^(-1/x^2), x不为0.
0, x=0.
此时f(x)在x=0的各阶导数都是0.
但它不能展成x=0处的Taylor级数.
否则的话f(x)=0，矛盾.

Answer 2

不是的。推荐看《数学分析》（徐森林）里的第五章，有详细讲解