函数单调性与奇偶性的规律是什么？

Question

如题所述

Answer 1

函数的单调性和奇偶性是描述函数特征的两个重要概念。
1. 单调性：
函数的单调性描述了函数图像的增减趋势。一个函数可以是递增的（增函数）、递减的（减函数）或者既递增又递减（不单调）。严格单调递增的函数在整个定义域上的每个点都满足 f(x1) < f(x2) 当 x1 < x2。严格单调递减的函数则满足 f(x1) > f(x2) 当 x1 < x2。
2. 奇偶性：
一个函数被称为奇函数，如果对于定义域内任意的 x，满足 f(-x) = -f(x)。换句话说，奇函数的图像关于原点对称。一个函数被称为偶函数，如果对于定义域内的任意 x，满足 f(-x) = f(x)。换句话说，偶函数的图像关于 y 轴对称。
如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则称为既非奇函数也非偶函数。
常见的规律包括：
- 如果一个函数在某个区间上严格单调递增或递减，那么它在该区间上不存在极值点。
- 一个偶函数的图像关于 y 轴对称，所以它可以通过一个称为对称轴的垂直线来判断。
- 一个奇函数的图像关于原点对称，所以它可以通过原点对称性来判断。
需要注意的是，并非所有函数都具备单调性或奇偶性。一些函数可能在不同的区间上具有不同的单调性，或者既非奇函数也非偶函数。要确定一个函数的单调性和奇偶性，可以通过函数的定义或者导数等相关性质进行分析。

Answer 2

有规律的是：单调递增的加单调递增的”函数的单调性是增
单调递减的加单调递减的”函数的单调性是减
单调递增的减单调递减的”函数的单调性是增
单调递减的减单调递增的”函数的单调性是减
乘与除的都无法确定
还有复合函数的：1.内层与外层单调性相同的为增
2.内层与外层单调性不同的为减
正所谓：同增异减
参考资料:
关于奇偶性:
1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
2)奇偶性相同的两个函数的积、商(分母不为0)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积、商(分母不为0)为奇函数.
关于单调性:
1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
2)c>0时,函数f(x)与c*f(x)具有相同的单调性;c<0时,函数f(x)与c*f(x)具有相反的单调性.
3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
4)若f(x)>0,g(x)>0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数.则f(x)*g(x)也是增(减)函数;若f(x)<0,g(x)<0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数.则f(x)*g(x)是减(增)函数