两点之间真的直线最短吗，还是直线和曲线一样长？

如上图，从A到B的曲线距离可以用线段的和表示为AA1+A1B1+B1A2+A2B2+B2A3+A3B3+B3A4+A4B4+B4B=AC+BC。从图中可以看出，当从A到B有5个台阶，如果越来越密，曲线AB,即AA1+A1B1+B1A2+A2B2+B2A3+A3B3+B3A4+A4B4+B4B最后就会近似为一条直线，此时曲线的距离就是AB之间的直线距离。但是从微观来看，不管如何无穷分割使得台阶越来越密，各台阶的线段之和总算等于AC+BC，似乎两点之间直线最短是谬论。请解释怎么回事并写出证明过程？

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推荐答案 2012-08-25

你的问题有点奇怪，AB两点间的距离最短就是AB之间直线的距离 .如你图所示，即是近似一条直线也无法将其视为一条直线，就好比9.9......始终比10小一样

若按你的无穷分割，始终是ACB之间的距离，不能看成一条直线

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第1个回答 2012-08-26

可以这样理解，直线是二维的，用微分无限分割可分为x和y两个方向，称为偏导数。而如图的折线是不连续的，在一个分段内，只有一个维度，经过平移与外围折线刚好相等。在微分领域内，极限近似有严格要求，必须要是同阶无穷小才能近似，折线与斜线不为等价无穷小。本回答被提问者采纳

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