设A.B.C，D均为4阶非零矩阵，其中B,C都是可逆矩阵，且ABCD=0。R(X) 表示矩阵X的秩

Question

设A.B.C，D均为4阶非零矩阵，其中B,C都是可逆矩阵，且ABCD=0。R(X)
表示矩阵X的秩。
（1）证明：10≤R(A)+R(B)+R(C)+R(D)≤12；
（2）试给出满足R（A)+R（B)+R（C）+R(D）=10的一组4阶非零矩阵AB,C,D，并加以说明。

Answer 1

B和C的秩为4，A和D非零矩阵，所以秩至少为1，所以它们的秩的和最少为10。
因为B和C可逆，所以令F=BCD，则F与D等价，秩相等。且AF=0，R（A）+R（F）≤n=4
所以第一问得证。

至于第二问，太简单了，B，C可逆，你就举例单位阵就好了。
而R（A）+R（D）=2，A，D的秩都为1。
最简单的，A中a11为1，其它都为0就好。
而D中d22=1，其它的都为0就好