如下:
设棱长为a，底面是正三角形，底面上的高√3a/2。
侧棱的射影=√3/2a*(2/3)=√3a/3，高h=√(a^2-a^2/3)，h=√6a/3，从一条侧棱上作垂直平分线交于高为o，a*a/2=r*√6/3a，r=√6a/4。
当棱长是a时，外接球半径是√6a/4。
扩展资料：
多边形内切球球心是多边形一切二面角平分面的交点。
多边形外接球球心O的位置可用下述方法之一定出来：
1，点O是通过多面体非平行平面外接圆的圆心并垂直于非平行平面的两条直线的交点。
2，点O是通过多面体非平行棱中点、并垂直于这些棱的三个平面的交点。
3，点O是通过一个面的外接圆圆心，且垂直于此圆的平面∑的直线和垂直于过不与∑平行的棱的中点的平面，且垂直于此棱的直线的交点。
一个球面是由四个非共面的点所确定的。因此，求解多面体外接球半径的任何习题都可由其内切球的证明和计算绕某个三棱柱外接球的半径(顶点是给定多面体的顶点)得出来。
参考资料来源：百度百科-外接球
设正四面体的棱长为a，求其外接球的半径。
解：设正四面体V-ABC，D为BC的中点，E为面ABC的中心，外接球半径为R，
则AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.
在Rt△VAE中，有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3.
在Rt△AEO中，有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2，即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,
可解得：R=（√6）a/4.
另外，我们也可以先求出OE，因为OE恰好是四面体的内切球的半径r,利用等积法可求得r.
设四面体的底面积为S，则1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中，有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,从而得R=（√6）a/4。
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