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如何求一元二次方程的通解?
如题所述
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第1个回答 2023-12-28
解:特征方程为 r^4+2r²+1=0,
即 (r²+1)²=0,
故特征根为 r=±i(均为二重根),
所以原方程的通解为
y=C1e^ix+C2e^-ix+C3xe^ix+C4xe^-ix.
【注】
① C3xe^ix中C3后面有个x的原因是:r=i为二重特征根;同理,由于r=-i也为二重特征根,故C4xe^-ix中C4后面也有个x.
② 上面的通解也可以写成如下的三角形式:
y=C1cosx+C2sinx+C3xcosx+C4xsinx.
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怎么求?
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解:∵xy'-ylny=0 ==>dy/(ylny)-dx/x=0 ==>d(lny)/lny-dx/x=0 ==>∫d(lny)/lny-∫dx/x=0 ==>ln│lny│-ln│x│=ln│C│ (C是非零常数)==>lny/x=C ∴此
方程的通解
是lny=Cx。
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