幂指函数y= x^ x的图像怎么画？

Question

如题所述

Answer 1

x的x方图像是什么样子的
y=x^x图像如下：
解析过程如下：
y=x^x的函数称为幂指函数。定义域：(0,+∞)
x➔0limx^x=x➔0lime^(xlnx)=x➔0lime^[(lnx)/(1/x)]=x➔0lime^[(1/x)/(-1/x²)]=x➔0lime^(-x)
=x➔0lim[1/(e^x)]=1，即该函数在x=0处无定义，但在x➔0时存在极限1；
故可定义y(0)=1；约在x=0.38时y获得最小值，y(0.38)=0.38^0.38=0.6923；
y(1)=1；y(2)=4；y(3)=27；
x➔+∞limx^x=+∞.x<0时无定义。
幂指函数既像指数函数，又像幂函数，兼有幂函数和指数函数的特点。
幂函数的性质
1、正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）（0,0）；
b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
2、负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
3、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。