设⊙A, ⊙B半径分别为a, b.
半径为r的⊙P与二者都外切, 则有AP = a+r, BP = b+r.
相减得AP-BP = a-b, AP-BP为定值.
因此圆心P的轨迹为以A, B为焦点, 实轴长|a-b|的双曲线的一支.
同样讨论易知, 与⊙A, ⊙B都内切的圆的圆心的轨迹是该双曲线的另一支.
此外还有与⊙A, ⊙B分别内切外切的圆, 其圆心的轨迹是以A, B为焦点, |a+b|为实轴的另一双曲线.
作图步骤很简单, 比如作与两圆都外切的圆 (其它相切情况作法都是类似的).
任取r ≥ |a-b|.
以A为圆心作半径a+r的圆, 以B为圆心作半径b+r的圆, 两圆交于点P(两个交点可任取一个).
连接PA, 交⊙A于C.
以P为圆心PC为半径作⊙P, 则与⊙A, ⊙B都外切.
理由: 由作图法知PA = a+r, PB = b+r.
于是⊙P半径PC = PA-AC = r.
P到⊙A, ⊙B的圆心距分别等于半径和a+r与b+r, 故与二者都外切.
另外, 图中画出了P的轨迹, 是双曲线的一支.
下图显示了4种相切情况, 并画出了圆心轨迹.
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