如何判断三个向量组的线性相关性

Question

如题所述

Answer 1

若三个向量组组成的矩阵的秩<向量个数，则线性相关。

若三个向量组组成的矩阵的秩=向量个数，则线性无关。

例如：

1、写成矩阵形式，然后通过行变换，化为行最简形，得到矩阵的秩。

2、得出矩阵的秩，用来和向量个数比较。

3、因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数，所以得出。

所以线性相关就是：

Answer 2

向量可用有限个其他向量的线性组合所表示

那么就是线性相关的

三个向量是否线性相关

可以使用初等行变换判断

如果秩小于3，就是线性相关的

秩等于3，则线性无关

假设这四个向量线性无关，那么任取其中三个也是线性无关的，因为是三元数组，所以这三个向量可看作一个基，因此，第四个非零向量就可以由这一组基来线性表达并且系数不全为0，这与假设相矛盾，因此这四个向量线性相关。更一般的结论是，m个n元向量组，如果m>n，那么这m个向量组必定线性相关

扩展资料

设 A是 m×n 的矩阵。

可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)

1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解，好理解。

2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0

故两个方程是同解的。

同理可得 r(AA')=r(A')

另外 有 r(A)=r(A')

所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)

在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

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Answer 3

可以这样判断：
先计算构成的三阶矩阵的行列式,如果不等于0,说明秩数=3,则三个向量线性无关.
如果三阶行列式=0,则这三个向量线性相关.
你的那个行列式=8,非零,秩数=3,所以向量线性无关.
当然也可以通过初等变换,直接算出矩阵的秩数是多少.
记住：
若秩数=向量个数,则向量组线性无关.
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Answer 4