如图：点p是等边三角形ABC内一点,PA=3PB=5PC=4.求：三角形ABC的面积。

Question

如题所述

Answer 1

答：如上图所示，将△BPC绕点B逆时针方向旋转60°至△BDA，连接DP。

所以：△BPC≌△BDA
所以：DA=PC=4
因为：∠DBP=60°（旋转角度）

所以：△BDP是等边三角形

所以：DP=BP=BD=5
因为：AD^2=4^2=16；DP^2=25；AP^2=9
所以：DP^2=AD^2+AP^2
所以：△ADP是直角三角形，DP是斜边
所以：

sin∠ADP=AP/DP=3/5

cos∠ADP=AD/DP=4/5

所以：

cos∠ADB

=cos(∠ADP+60°)

=cos∠ADPcos60°-sin∠ADPsin60°

=(4/5)(1/2)-(3/5)(√3/2)

=(4-3√3)/10

△ADB中根据余弦定理有：
AB^2=AD^2+BD^2-2AD*BD*cos∠ADB

=16+25-2*4*5*(4-3√3)/10

=25+12√3

所以：△ABC面积=AB*AB*sin60°/2=(25+12√3)*(√3/2)/2=(25√3+36)/4

所以：△ABC面积为(25√3+36)/4

Answer 2

将△ABP旋转60°使AB与CB边重合点E为点P对应点
连接EP
此时构成等边三角形BPE与直角三角形BEC
可求出这两个三角形面积之和
同理将三角形APC旋转60°使AC与AB重合
点F为P对应点
连接FP
此时构成等边三角形AFP与直角三角形FBP
可求出这两个三角形面积之和
将△BPC旋转60°使BC与AC边重合
点G为点P对应点
连接GP
此时构成等边三角形CGP与直角三角形APG
可求出这两个三角形面积之和
将求出的六个三角形面积之和除以二即可

Answer 3

将△acp绕c点按逆时针旋转60°，点a到达点b，点p到达点d，即△acp≌△bcd，
此时△pcd是等边三角形。pd=3，bd=ap=5，pb=4，
根据勾股定理的逆定理知∠bpd=90°。
过b点作cp的垂线交cp的延长线于e。
∠bpe=180°－90°－60°＝30°，
从而be＝2，pe＝2√3
，ce=3+2√3
通过直角三角形cbe的斜边长求出三角形abc的边长
bc^2=be^2+ce^2
代入be＝2，ce=3+2√3
得三角形abc的边长
为
√（25+12√3）