很多几何应通过活动来学习,用实物模型、绘画和软件作为工具.精心设计的活动,合适工具的获得以及教师的帮助使学生能够对几何结构作出推断,探究其他结构的推断,对几何进行推理.最后的目标是使学生系统学习几何形状和结构并在学习中越来越多地使用推理和证明.几何与空间观念是数学教育的重要组成部分,它们提供了通过抽象解释与反映我们的实际环境的途径,它们可以作为学习其他数学与科学知识的工具,它们有助于所有数学里的创造思维.
几何思想在表示与解决其他数学领域与非数学背景里的问题的实效应是学生几何体验的主线.几何表示有助于学生理解面积与分数,坐标图象可以用来分析与理解函数.空间推理有助于使用地图、计划路线、设计地面方案和创造艺术.几何与空间观念也有助于学生看到他们周围的结构与对称.
◆ 分析二维和三维几何物体的特征和性质
从早期与周围世界的接触,儿童就开始获得形状与空间结构的体验.儿童应开始探索、识别与描述各种形状并通过探究进行观察.例如,幼儿园前-2年级可以用各种形状认识到矩形很有用,因为它们有四个"完美的角".在以后的年级,学生描述图形的组成部分--诸如边与角,以及图形的性质.例如,用实物或几何软件对各种矩形做实验,3-5年级的学生可以推断矩形具有以下性质：有两对相等的边,对角线相等且平分.到6-8年级,学生应能演绎证明这些性质中的某些性质可以描述矩形的特征.在9-12年级,学生应能用演绎推理与几何公理及定理研究它们关于图形的推断的对错并用正式推理解决几何图形的问题.在所有水平,应鼓励学生提供关于他们的推断与解法的合适解释.
诸如想象、描述、表示、分类、变换与探究的技能通过可视物体发展和形成,技术使学生能够体验大量各种二维和三维图形的相互联系,这些技能随着图形以及性质间相互关系的学习进一步抽象化,最后学生能够描述、表述、分类并探究用几何体系里逻辑链表达的关系间的联系.学生也应越来越能够在公理体系里得出定理,识别未定义的概念、定义、公理和定理间的区别,进行证明.
◆ 选择和使用不同的表示方法,包括坐标几何和图论
直角坐标系是有力的数学工具,它使在一种情形下难以解决的问题转化到问题易于解决的另一种情形.了解直角坐标有助于解决大量问题.特别地,坐标能表示位置、方向和距离,它是联系代数与几何的桥梁.
儿童首先学习诸如上面、背后、靠近、之间等相对位置的概念,以后,他们可以用矩形网格确定一间房子里的物体或一张桌子上的物品位置.在中间和中学年级,坐标平面成为确定点的工具.通过使用地图上的比例尺或毕达哥拉斯定理确定平面上点的距离是中年级的一个重要发展.通过确定顶点的坐标或选择合适的点形成要设计的图形,几何图形可以被分析表达.几何软件、图形计算器和坐标纸可以帮助学生形成平面变换的理解.
学生应通过使用直观和坐标表示,分析问题和学习数学获得经验.例如,在小学低年级,数轴提供了证实正整数加法意义的方法,而这种方法又可以扩展到其他类型的数的运算.在3-5年级,格子板有助于学生理解乘法,可以在中间年级或中学考虑更为严重复杂的问题.例如,要使救护车从社区各处到新医院的距离最短,中间年级的学生或许要用出租汽车几何.要使远距离城市的航线最短,9-12年级的学生要用球面几何.而如果学生要使乘飞机到几个城市旅游的费用最少,他们或许要用有限图论.
◆ 在分析数学情形时认识变换和对称的用处
变换是几何思维的重要方面.儿童入学时不仅有图形的直觉也有图形会动的直觉.通过镜子、折纸和找轨迹获得诸如滑动、"旋转"等非正式运动的体验,小学低年级学生可以在本质上把这些思想看成数学的.在更高些年级,学生关于变换的知识变得更为正式和系统化.3-5年级学生应探究变换的效果并能用数学术语描述它们.使用动态软件,学生就会意识到定义一个变换所需的条件.例如,用一个旋转变换一个图形,学生需要定义旋转的中心,旋转的方向以及旋转的角
在中间年级,学生应理解全等变换,在变换中全等图形重合,即变换保距.学生应将他们的变换知识扩展到伸缩,并能从量上描述变换.
变换应是9-12年级学生解决几何问题的重要工具.例如,它们在全等与相似的学习中用到.复合变换的系统学习可以使中学生从几何角度认识函数集合的代数性质.学生将能作出有关变换性质的证明并用变换在其他领域进行证明.
◆ 使用想象和空间推理解决数学内外的问题
空间想象包括建立二维和三维物体的表象并从不同方面认识同一物体.空间想象的一个方面包含二维和三维图形与性质的变换.在小学低年级学生用网格纸折方块作为学习预测一个网格纸能否折成一个方块的一步.在中间年级,学生应能作图并有俯视图或侧视图
通过各种几何物体的手工操作和使用能够旋转、伸缩二维和三维物体,学生发展想象技能.
随着年级的增高,学生应熟练分析和画出视图,数出组成部分,描述不能看到但能推出的,学生需要在当他们形成对全等、相似和变换的理解时,学会实际操作在头脑中改变实物的位置、方向和大小.
想象可以用来作为形成推断或论证的工具.儿童确信如果他们把"菱形"看作旋转一个角度,它实际上是一个正方形.年龄稍大些的学生或许在证明两个三角形全等时,用空间推理决定合适的对应.在更高水平上,空间推理或许有助于比较平面曲域绕指定轴旋转所成的立体的体积,相似有助于学生认识比例关系.
想象与空间推理因学生日常广泛接触计算机与其他技术而得以促进.通过将这一体验与学校几何相联系,学生可以获得解决几何与其他数学领域的问题的重要工具.
在学生的整个发展过程中,几何与空间理解不仅增长也在结构上变化.虽然本标准阐明的焦点领域应在每个年级水平上详述,学生理解和打交道的几何物体将随他们不断升学而扩展.
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