x^x求不定积分

Question

如题所述

Answer 1

将x^x表为exp(xlnx)，展开为幂级数，逐项积分。很繁琐，很久以前我做过。

单击可见清晰大图。

顺便说明，上述积分可积性未经严格论证，故只能算是一种形式解答。

2020.6.18/2：46补充

Answer 2

看见这样的被积函数就知道原函数一定不是初等函数了。
∫ x^x dx
= ∫ e^(xlnx) dx
= ∫ Σ(k=0~∞) (xlnx)^k * 1/k! dx
= Σ(k=0~∞) 1/k! * ∫ x^k * (lnx)^k dx
= Σ(k=0~∞) 1/k! * (-1)^(-k) * (k + 1)^(-k-1) * Γ[k+1，(-k-1)lnx] + C

(x^x)' = x^x * (1 + lnx)
x^x = ∫ x^x dx + ∫ x^x * lnx dx
∫ x^x dx = x^x - ∫ x^x * lnx dx，后面那个积分不可积追问

我查完最新版《数学分析》，上面说连续函数都可积。

Answer 3

看见这样的被积函数就知道原函数一定不是初等函数了。

∫ x^x dx=x+x^2/4+x^2*ln(x)/2+x^3/54*(9*(ln(x))^2-6*ln(x)+2)+O(x^4)+c
http://wims.math.leidenuniv.nl/wims/wims.cgi
f(x)=x^x
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Answer 4

答：
∫ (x/e^x) dx
=∫ xe^(-x) dx
=- ∫ x d [e^(-x)]
=-xe^(-x) +∫ e^(-x) dx
=-x /e^x -e^(-x) +C
=-(x+1) /e^x +C

Answer 5

∫ 1/x² dx
=∫ x^(-2) dx
= x^(-2+1) / (-2+1) + C,公式∫ x^a dx = x^(a+1) / (a+1) + C
= -x^(-1) + C
= -1/x +C