第1个回答 2020-10-27
哥德巴赫猜想是非常有名的，因为中国的数学家陈景润作出了最好的结果，至今没有人突破。换句话说，这个猜想还没有被证明。
1996年3月19日，陈景润去世到现在，已经过去了22年，哥德巴赫猜想的研究成果没有什么大的突破。
当然了，从科学的角度来说，这个猜想肯定是可以被证明的，只不过也许还需要400年的时间。这个是说不清楚的，也不好预测，因为科学的发展不是线性的，而是非线性的，而且还有很大的不确定性。
陈景润的学术成就是伟大的，除了哥德巴赫猜想1+2部分，它在华林问题、圆内格点、球内格点，算术级数中的最小素数、三素数定理中的常数估计、孪生素数等问题研究中都有突破。
最近最伟大的数论学家张益唐，他的水平很高，我们只能寄希望于张益唐等人，如果他们能突破哥德巴赫猜想，那就是被证明了。但现在肯定是不好说什么的，你这个问题没有人知道答案如果不是属于像“平行公理”那样本质上是属于公设性的命题，那么哥德巴赫猜想理论上是应当可以被证明的。
虽然数学家哥德尔证明了哥德尔不完备定律，指出“任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。”但这类无法证明的命题，在我看来，主要是指像“平行公设”这样的命题。
而哥德巴赫猜想这样的命题，本质上是由算术基本定理等更为基础性的命题所派生，不是公理性质的，因此应当是可证的。
目前为止，最好的证明结果是由陈景润作出的，证明路线是继承主流的“殆素数”路线。他的成果被归纳为证明了“1＋2”，即“任意一个大于2的偶数，都可以表示为一个素数与另外一个素数或半素数之和”，半素数其实还是合数，不过只能分解为两个素数相乘。而哥德巴赫猜想需要证明“1＋1”，也即“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个素数之和”。例如30＝13＋17，哥德巴赫猜想认为这一规律适用于所有大于2的偶数。
不少人认为陈景润的成果是运用“殆素数”方法所能取得的最好成果，要直接证明“1＋1”的可能性不大。
除了“殆素数”方法，主流的其他方法目前也都进展不大。
能不能有新方法呢？我认为是有的。
我们不妨提出这么一个问题：
假设n是大于1的任意自然数，是否总存在一个非负整数k，使得n＋k与n－k同为素数？
这个问题的实质其实就是哥德巴赫猜想，非常直观与本质，但似乎很少人从这个角度去思考过。
想一想：如果2n代表任意一个大于2的偶数，并且一定存在非负整数k使得n＋k与n－k同为素数的话，那么2n显然能表示为两个素数n＋k与n－k之和。
于是，证明哥德巴赫猜想等于就转化为探讨对于给定的大于1的自然数n，使得n＋k与n－k同为素数的非负整数k的条件是什么？
首先，显然须得k＜n。
其次，假设p(x)是任意不大于√2n的素数，于是k对模p(x)的同余情况，显然与n对模p(x)的同余情况相关。
不妨设n≡d(x) (mod p(x))，非负整数d(x)＜p(x)，则有：
如果k≡p(x)－d(x) (mod p(x))不成立，那么n＋k≡0 (mod p(x))不成立；于是n＋k不能为p(x)整除，必是素数。
如果k≡d(x) (mod p(x))不成立，那么n－k≡0 (mod p(x))不成立；于是n－k不能为p(x)整除，必为素数或1。
从而，有如下结论：
如果k≡p(x)－d(x) (mod p(x))与k≡d(x) (mod p(x))均不成立，并且n－k≠1，那么n＋k与n－k必同为素数！
对以上结论，在此不妨举例说明：
令n＝50，则有√2n＝10，不大于10的所有素数为2、3、5、7。显然：2除50余0，3除50余2，5除50余0，7除50余1。从而，k必须满足：
（1）为奇数；（2）为3除不余1或2，也即为3倍数； (3) 不应是5倍数；（4）为7除不余6或1.
在0～49中，满足条件(1)、(2)的数有3、9、15、21、27、33、39、45；再根据条件(3)筛除5倍数15和45；最后根据条件(4)筛除27。筛得的结果是3、9、21、33、39这5个数。
检验：
k＝3时，n＋k＝53，n－k＝47，有100＝53＋47；
k＝9时，n＋k＝59，n－k＝41，有100＝59＋41；
k＝21时，n＋k＝71，n－k＝29，有100＝71＋29；
k＝33时，n＋k＝83，n－k＝17，有100＝83＋17；
k＝39时，n＋k＝89，n－k＝11，有100＝89＋11；
其实k＝47时也是满足条件的，此时有n＋k＝97和n－k＝3，但被我们筛除了。这说明我们这里设计的过滤筛子是偏密的，但在这里“宁可错杀”。
类似地，根据上述方法，我们将能估算出在0～n－1这n个非负整数中，满足条件的非负整数k至少会有多少。
除了p(x)＝2时，对于其他的任一素数模p(x)，至多有两个剩余类是不满足条件的，至少有p(x)－2类剩余类是满足条件的。也就是总是约有(p(x)－2)/p(x)的数，当k取值时，将使得n＋k或n－k均不被p(x)所整除。
不妨设p(m)为自然数中的第m个素数，并且p(m)是不大于√2n的最大素数；再设0～n－1这n个非负整数中，使得n＋k与n－k同为素数的非负整数k的个数为S，那么则有：
S＞[ n×1/2×1/3×3/5×5/7×……×(p(m)－2)/p(m) ]
＞[ n×1/2×1/p(m) ]
＞[ n/2×1/√2n ]
＝[ √2n/4 ]
(这里 [ ] 为取整符号）
显然，n≥32时，S＞2；由此至少有1个非负整数k，使得n＋k与n－k同为素数。
而n＜32时，哥德巴赫猜想的成立是显然的。
第2个回答 2020-10-27
哥德巴赫猜想 还要“猜”多久
08月20日 16:30
新华社北京8月20日电 徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》，曾唤起许多中国人的科学意识，也使这一“猜想”成为当代中国最出名的一道数学题。从顶尖数学家到普通的数学爱好者，摘取这颗“数学皇冠上的明珠”，成为成千上万中国人的梦想。
那么，近年来哥德巴赫猜想研究有何进展？到什么时候才会有结果？记者就此采访了参加国际数学家大会的许多数学家。
“近二十年证明没有本质进展”
“近20年来，哥德巴赫猜想的证明没有本质进展。”北京师范大学数学系教授、将在本届国际数学家大会上作45分钟报告的陈木法说，“它的证明就差最后一步。如果研究取得本质进展，那猜想也就最终获得了解决。”
据陈木法介绍，在2000年，国际上曾有机构列出了数学领域的7个千年难题，悬赏百万美元求解，但并未将哥德巴赫猜想包括在内。
“在最近几年甚至十几年内，哥德巴赫猜想还难以获得证明。”中科院数学与系统科学研究院研究员巩馥洲这样分析，现在猜想已成为一个孤立的问题，同其他数学学科的联系不太密切。同时，研究者也缺少有效的思想、方法来最终解决这一著名猜想。“陈景润先生生前已将现有的方法用到了极至。”
剑桥大学教授、菲尔茨奖得主贝克尔也表示，陈景润在这项工作上取得的进展是迄今为止最好的求证结果，目前还没有更大的突破。
“在解决这类数学难题时，可能一二百年内都难有进展，也可能短期内就有重大进展。”在巩馥洲看来，数学研究中存在一定的偶然性，也许可以让人们提前在猜想证明上获得进展。
猜想求证呼唤全新思路
为求解“核心数学中具有挑战性的问题”，中科院数学与系统科学研究院成立了专门的国际研究团队。研究院负责人、研究员李福安介绍说：“我们期望在黎曼猜想等领域取得突破。这一研究团队并没有将哥德巴赫猜想作为努力的方向。”
陈景润，这位距“皇冠上的明珠”最近的数学家在1996年离我们而去。他的成就曾一度唤起人们“冲击”哥德巴赫猜想的“激情”。2000年3月，英国和美国两家出版公司曾悬赏百万美元，征求哥德巴赫猜想的最终解决方案，再次使之成为社会关注的热点。两年过去了，直到最后的截止日期，也没有人前来领取这笔奖金。
据估计，全世界约有二三十人有能力从事猜想的求证。对于这一著名猜想的最终解决，潘承洞曾撰文指出：现在看不出沿着人们所设想的途径有可能去解决这一猜想。我们必须对有关方法作出重大改进，或提出新的方法，才可能对猜想取得进一步的研究成果。王元的判断与此基本相似：“对哥德巴赫猜想的进一步研究，必须有一个全新的思路。”作为我国当代著名的数学家，王元和潘承洞都在猜想证明过程中做出过重大贡献。
“数学研究不只是做难题，我不赞成片面炒作这些难题。在我看来，研究这些数学难题的人不到世界数学家的1％。”陈木法觉得，“数学研究不必非得去解答别人提出的问题，我们要多做些原创性的研究，注重整体研究力量的提高。”
“民间数学家” 距离“明珠”有多远？
国际数学家大会开幕前夕，一些“民间数学家”纷纷来到北京，声称自己“已完全证明”了哥德巴赫猜想，引起社会的关注。
实际上，近年来我国不断有人拿着猜想的“最终证明结果”轮流拜访多位数学家，也不时传出“农民成功证明哥德巴赫猜想”、“拖拉机手摘得‘皇冠上的明珠’”等“爆炸性新闻”。
“随着大会的临近，数学研究院收到的关于猜想研究成果的稿件也越来越多。”中科院研究员李福安说，“20多年有成千上万的业余爱好者，我就收到了200多封信。他们的选题主要集中在哥德巴赫猜想上。由于猜想表述非常简洁，大多数的人都能懂，所以很多人都想来破解这个难题。”
“民间人士热爱科学的热情应该保护，但我们不提倡民间人士去攻世界数学难题。他们可以用这种热情去做更合适的事情。”李福安说，“从来稿中可以看出，不少作者既缺乏基本的数学素养，又不去阅读别人的数学论文，结果都是错的。”
“国外也有这种现象。比如在柏林国际数学家大会期间，就有人在会场张贴论文，宣称自己证明了（1＋1）。”首届国家最高科学技术奖获得者、本届国际数学家大会主席吴文俊说：“一些业余爱好者会一点儿数学，有一点儿算术基础，就去求证（1＋1），并把所谓的证明论文寄给我。其实像哥德巴赫猜想这样的难题，应该让‘专门家’去搞，不应该成为一场‘群众运动’。”
为此，许多数学家对数学爱好者提出忠告：“如果真想在哥德巴赫猜想证明上做出成绩，最好先系统掌握相应的数学知识，以免走不必要的弯路。”（新华社记者李斌 张景勇 邹声文）
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责编:扬国 来源:新华社
第3个回答 2020-10-27
你所提的问题，也是一个猜想！没有人知道需要多少年才能证明哥德巴赫猜想（1+1）。
现在最接近哥德巴赫猜想的是陈景润证明的“1+2”（被称为陈氏定理），这距离哥德巴赫猜想的最终证明还有很长的距离，也许几十年后就有数学家给出证明，也许需要几百年的时间！谁能预测未来呢？不论谁做出的预测，也都只是猜想！
第4个回答 2020-10-27
1.哥猜有意义，并不是孤立的。质数代表的实际上是整数域的乘法结构，哥猜的本质就是讨论正整数的乘法结构上的加法结构，这个有一系列的问题跟这个有关，比如孪生质数问题，华林-哥德巴赫问题。如果我们能解决哥德巴赫猜想，代表我们对乘法跟加法已经有了很深入的了解，并且有足够的工具去解决这个mixture的问题。
某种程度上，我们期望的应该是有一个带加法跟乘法版本的某种Perfectoid space类似物（加法跟乘法大概应该考虑成Frobenius的analogue？）作为工具，从而让我们能着手于这个问题，思想应该跟Perfectoid space作为工具解决mix characteristic的问题应该是有点类似的，但是现在大家还不知道怎么着手去建立它。（这一段并不是说这个东西成立，就跟大家讨论所谓的Field of one一样，是一个希望存在但是不可能存在或者暂时不存在的工具，所以要绕某个路，但是怎么绕还没人知道。）
所以说我觉得哥猜并不是一个孤立无意义的问题。
2.哥猜问题确实遇到了很大的瓶颈，因为它问题的本质，导致能做的已知的手段基本只有筛法，但是如果你看过Renyi/Chern的证明你就会发现，从"1+2"提高到"1+1"，中间的差别太大了，基本上是改进不了了，所以确实，年轻人就别做这种方向了，李吟这点没说错，年轻人还是要有点选问题的眼光，这种方向不能搞。你可以因为陈景润入坑，但是别为陈景润吊死在这儿。
当然你要是十分天才，自比Peter Scholze，自便。
3.恽之玮许晨阳的方向确实很不错，值得去学一学，这个确实是有很大的图景的工作，可以一做。并且我觉得做到极致应该也会给哥猜带来一点点新的思路。
4.陈景润确实做的成就不是很高，他做的基本上就是交换了加法的方向，给出了一个更好的结果，但是基本上还是Renyi的老结果，不过基本上还算是独立做出来的，这点还是很值得肯定的。现在好多国内数学家就只会抄抄抄跟假假假，还有偷偷偷，真的没点脸面。我觉得陈景润这一点还是值得大家学，好好去看自己学术的东西，别搞得环境乌烟瘴气的。
5.回到答主的问题，不知道，我们现在离解决的距离还十分遥远，抛开筛法，现在根本就没有一个很好的着力点，所以只能回你不知道了。