光的波动方程
本节揭示如何从显性的物理图景得出抽象的方程。假设有一个光的平面波，沿 +z 方向传播，正如我们研究平面电磁波中假设的那样。本质上光波也属于电磁波。在此，光波的极化概念由偏振替代，我们假设光波的偏振方向为 y 方向，振幅为 A ，角频率为 ω ，速度为 c ，初始相位为 φ ，那么可以如下描述光波的振动：
y(z,t) = A cos [ω(t - z/c) + φ] (*)
这个描述是显性的，它直接来自上面假设的诸物理图景。t - z/c 表示一个时间差，比较的基准是选取初始相位的那个位置和时刻。由于 c = λf = λ/2π •2πf = ω/k ，所以上式可以继续变形：
ω(t - z/c) = ωt - kz = kωt/k - kz = kct - kz
考虑到一般情况，在任意方向 r ，上式中的 kz 就变为 k•r ，其中 k 为传波矢量，k = kz 。于是：
ω(t - z/c) = kct - k•r
把上式改写为两个四维矢量k4和r4的点积，并可采用张量的记法：
ω(t - z/c) = [k k][ct -r]T = k4•r4 = kiri
于是，(*) 可改写为：
y(z,t) = A cos [kiri + φ]
现在引入“复振幅”的概念，也正如电磁场理论中的概念一样。于是：
y(z,t) = ℜ(A ejφ exp (jkiri))
令：
Ψ = A exp (jkiri)
可以 证明 Ψ 满足波动方程：
∂2Ψ/∂ri∂ri= □Ψ = 0
其中，□为达朗贝尔算子，也记做 ∇42 。
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