证明：根据傅里叶级数的定义，若将f(x)展开成余弦级数，则f(x)=(a0)/2+∑ancosnx，其中，an=(2/π)∫(0,π)f(x)cosnxdx，n=0,1,2，…，∞。本题中，f(x)=sinx，则an=(2/π)∫(0,π)sinxcosnxdx。 ∴a0=(2/π)∫(0,π)sinxdx=(-2/π)cosx丨(x=0,π)=4/π，a1=∫(0,π)sinxcosxdx=0，而n≠0,1时，∫(0,π)sinxcosnxdx=(1/2)∫(0,π)[sin(n+1)x-sin(n-1)x]dx=(1/2){1/(n+1)-[(-1)^(n+1)]-1/(n-1)+[(-1)^(n+1)]/(n+1)}。显然，n=2k+1时，an=0、n=2k时，an=(-4/π)/[(2k+1)(2k-1)](k=1,2,……∞）， ∴sinx=2/π+∑a2kcos2kx=2/π-(4/π)∑(cos2kx)/[(2k+1)(2k-1)]，即∑(cos2nx)/[(2n+1)(2n-1)]=1/2-(π/4)sinx(n=1,2,……，∞）。供参考。
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