n阶行列式的展开式中每项是元素的乘积。由不同行不同列的元素相乘，且各行各列都有一个元素。取这些元素时可以固定从第一行开始取，则列下标就是1~n的任意一种排列，共有n！种， 所以n阶行列式的展开式共n！项。
定义1 n阶行列式
代数和，这里
排列时带有正号，当 
拓展资料：
n阶行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变。
性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）
性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。
性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。
例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为 
九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为 
在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。
例如行列式D第一步可以整理成D1=|(a11,a12,...a1n);(0,A22,...,A2n);……(0,An2,...Ann)| 【A22不等于a22其余类同】。
若n值不大，也可直接展开:
当n=2时 D=a11a22-a12a21 ;
当n=3时 D=a11a22a33-a12a23a31+a13a32a21-a13a22a31+a12a21a33-a11a32a23。