范德蒙行列式问题 求大佬。

Question

如题所述

Answer 1

由于A是范德蒙行列式，且|A|显然不为0，因此A可逆
方程组A^TX=b有唯一解
则X=(A^T)^(-1)b
=(A^(-1))^Tb
=(b^TA^(-1))^T
=(b^TA*/|A|)^T
=(b^TA*)^T/|A| 【1】
而A*的每一列，就是A的每一行元素的相应代数余子式
因此b^TA*的每一列，就分别是A*的每一列的列和，也即A的每一行元素的相应代数余子式之和，也即把|A|的每一行分别都替换为1，得到的新行列式（显然分别得到|A|, 0, 0, ..., 0），
则b^TA*=（|A|, 0, 0, ..., 0）
代入【1】，得到
X=（|A|, 0, 0, ..., 0）^T/|A|
=（1, 0, 0, ..., 0）^T

Answer 2

范德蒙行列式结合克拉默法则求解。先将AT矩阵列出来，你会发现AT行列式第一列刚好是B行列式，这就正好对应克拉默法则求解x1，因为x1是等于B1行列式除以AT行列式的。所以除了x1等于1以外，其他x全等于零(因为其他x中克拉默法则求解有成比例的两列，导致等于零)。所以方程组的解为(1，0，0…)