已知fx是定义在r上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x^2,当x>0时，f(x+1)=f(x)

Question

已知fx是定义在r上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x^2,当x>0时，f(x+1)=f(x)+f(1)，若直线y=kx与函数y=f(x)的图像恰有11个不同的交点，则k的取值范围

Answer 1

0≤x≤1 ,f(x)=x² f(0)=0 f(1)=1

f(x-1+1)=f(x)=f(x-1)+1

函数左增右减，正上负下

∴1≤x≤2 f(x)的图像是x²的图像向右向上各平移一个单位，同理：

n>0时

n≤x≤n+1 f(x)的图像是x²的图像向右向上各平移n个单位；

f(x)是奇函数

-1≤x≤0 ,f(x)=-x²

n<0时

n-1≤x≤n f(x)的图像是x²的图像向左向下各平移n个单位。

原点必然是其中一个交点，恰有11个不同的交点，f(x)是奇函数，故x>0时有5个交点。

由图像知，x>0时：

直线与x轴正向第3段曲线(n=2)相切，有4个交点，直线与x轴正向第4段曲线(n=3)相切，有6个交点，两者之间有5个交点：

f(x)=(x-2)²+2

f'(x)=2x-4

设切点横坐标为x₀,由导数的几何意义：k=2x₀-4

直线y=kx=(2x₀-4)x

代入：

y₀=(x₀-2)²+2

y₀=(2x₀-4)x₀

x₀=√6→k=2√6-4

同理n=3时，x₀=2√3→4√3-6

∴2√6-4<k<4√3-6

Answer 2