解绝对值方程通常有哪些解法

Question

解绝对值方程通常有哪些解法
若关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解.则a的值是多少

Answer 1

含绝对值的方程及不等式

从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.但除零以外,任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值.即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于这个性质,所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点.本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法.
一个实数a的绝对值记作|a|,指的是由a所唯一确定的非负实数:
含绝对值的不等式的性质:

(2)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
(3)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
由于绝对值的定义,所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算.通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正,负情况,脱去绝时值符号,转化为不含绝对值的代数式进行运算,即含有绝对值的方程与不等式的求解,常用分类讨论法.在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重,不漏.下面结合例题予以分析.
例1 解方程|x-2|+|2x+1|=7.
分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号,这可用"零
掉绝对值符号再求解.
解(1)当x≥2时,原方程化为
(x-2)+(2x+1)=7,

-(x-2)+(2x+1)=7.

应舍去.

-(x-2)-(2x+1)=7.
说明 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内,则这样的解不是方程的解,应舍去.
例2 求方程|x-|2x+1||=3的不同的解的个数.

为只含有一个绝对值符号的方程.然后再去掉外层的绝对值符号求解.
|x-(2x+1)|=3,

即 |1+x|=3,
所以 x=2或x=-4.

|x+(2x+1)|=3,
即 |3x+1|=3,
的个数为2.
例3 若关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解.则a的值是多少
解 若a1,则|x-2|=1-a-1.反之,a>-1时,原方程有负根.
设方程有正根x,则x=ax+1,即
所以a<1.反之,a0,所以|x+y|=x+y. ③
把③代入②有
x+y=x+2,
所以y=2.将之代入①有|x-2|=x,所以
x-2=x, ④
或 x-2=-x. ⑤
④无解,所以只有解⑤得x=1.故
为原方程组的解.
说明 本题若按通常的解法,区分x+y≥0和x+y0,因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号,从而简化了解题过程.
例8 解不等式|x-5|-|2x+3|<1.

5.

-(x-5)-[-(2x+3)]<1,
-(x-5)-(2x+3)5时,原不等式化为
x-5-(2x+3)-9,结合x>5,故x>5是原不等式的解.
的解.
例9 解不等式1≤|3x-5|≤2.
分析与解 此不等式实际上是
解 对|3x-5|≥1:

对|3x-5|≤2:

所以①与②的公共解应为

例 10 解不等式||x+3|-|x-3||>3.
解 从里往外去绝对值符号,将数轴分为x≤-3,-33三段来讨论,于是原不等式化为如下三个不等式组.

即 x≤-3.

即 x>3.

说明 本题也可以由外向内去绝对值符号,由绝对值的意义,解下面两个不等式
分别解出①和②即可,请同学们自己完成这个解法.
例11 当a取哪些值时,方程|x+2|+|x-1|=a有解
解法1 (1)当x≤-2时,
|x+2|+|x-1|=-2x-1≥-2(-2)-1=3.
(2)当-2|x+2|+|x-1|=x+2-x+1=3.
(3)当x≥1时,
|x+2|+|x-1|=2x+1≥2·1+1=3.
所以,只有当a≥3时,原方程有解.
解法2 按照绝对值的性质|a-b|≤|a|+|b|,故
|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3.
其中等号当-2≤x≤1时成立,所以当a≥3时,原方程有解.
练习七
1.解下列方程:
(1)|x+3|-|x-1|=x+1;
(2)||1+x|-1|=3x;
(3)|3x-2|-|x+1|=x+2;
(4)|3y-2|=-|5x-3|.
2.解方程组:

3.解下列不等式:

(2)5≤|5x-3|≤10;
(3)|x+1|+|4-x|1.
4.若a>0,b<0,则方程|x-a|+|x-b|=a-b的解是什么

Answer 2

解绝对值方程也是一元一次方程的应用，它的解法主要是：①先把|ax+b|看作一个整体，把绝对值方程看作是以|ax+b|为未知数的一元一次方程，变形成|ax+b|=c的形式；②对|ax+b|=c进行讨论，当c>0时，正确去掉绝对值，得到ax+b=c或ax+b=-c两个一元一次方程，从而求出x的值；当c=0时，得到ax+b=0一个一元一次方程，从而求出x；当c<0时，由于绝对值是非负数，所以此方程无解。
多层绝对值方程的解法可以分为以下几步：（1）移项。（2）换元。（3）重复以上两步，直至将方程转化为ax+bx=c+d的形式。（4）合并同类项。（5）系数化为1。
下面我们以|||x-1|-2|+3|=5为例说明多层绝对值方程的解法。
解：换元，假设||x-1|-2|+3=y，则|y|=5，所以y=±5，所以||x-1|-2|+3=±5。
移项，得||x-1|-2|=2或-8（因为后者为|a|=b的形式，且等号右面为负数，所以无解。
换元，得|x-1|-2=±2
移项，得|x-1|=0或4。
换元，得x-1=0或±4.
移项及合并同类项，得x=1或5或-3
检验：当x=1时，|||x-1|-2|+3|=||0|-2|+3=|-2|+3=2+3=5
当x=5时，|||x-1|-2|+3|=||4|-2|+3=|2|+3=2+3=5
当x=-3时，|||x-1|-2|+3|=||-4|-2|+3=|2|+3=2+3=5
经检验，x=1，x=5，x=-3均为|||x-1|-2|+3|=5的解。
注意：“换元”一步可以用李老师讲的“分类讨论法”代替，但不如“换元”简便，严谨。

Answer 3

绝对值方程有两种解法
一、带着绝对值去解，最后的答案有两个

二、先看绝对值中得数是正是负，然后再去绝对值。最后再进行运算。本回答被网友采纳

Answer 4

绝对值方程单就应付考试而言，题目并不难；简单的看看就行，正数绝对值为其本身，负数绝对值为其相反数

稍微复杂一点的，建议用区间间隔法，把绝对值式子看成是函数就行了；然后坐标轴上画个图，很清晰明了；

在数学里面，函数绝对是很重要的；你可以把任何式子都看成函数，学会举一反三

Answer 5

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