大白话用复数的几何意义证明欧拉公式（顺便扯一下旋转位置编码RoPE）

Question

如题所述

Answer 1

直观了解欧拉公式，复数几何揭示其中奥秘。在观看视频《用几何直觉理解欧拉公式！【中学生也能懂|manim】》后，我意识到复数相乘的几何意义可以应用于欧拉公式证明。本文将简要概述视频内容，并提供一个新颖的证明方法。

欧拉公式表述为[公式]。当 x=π时，公式简化为[公式]，即著名的欧拉恒等式。传统的泰勒展开法证明方法不涉及，这里采用复数相乘的几何解释。理解[公式]和[公式]的极限形式：[公式]和[公式]，将欧拉公式中的[公式]代入，可得[公式]，即n个[公式]连续相乘，当[公式]时，结果为[公式]。

复数相乘的几何意义至关重要，其结果的模长是乘数模长的积，幅角是幅角的和。在旋转位置编码（RoPE）中，如谷歌的PaLM和Meta的LLaMA，这个特性被广泛应用。下面是证明过程：连续相乘n个[公式]，当n趋近于无穷大时，会形成一个半圆，最终指向x=-1，从而证明[公式]。对于任意θ，通过复数的模长和幅角计算，可以得出n个[公式]连乘后的模长和幅角，从而确认欧拉公式[公式]。

尽管这个证明非正式，但重点在于理解而非严谨性。想深入了解复数相乘的几何意义和RoPE在实际中的应用，可以参考知乎上的文章，如苏剑林大佬和梁德澎大佬的讲解，以及我的其他相关文章。