勾股定理的证明方法如下：
利用全等三角形证明：
1、画两个正方形，一个边长为a+b，另一个边长为a，然后将这两个正方形放在一起，组成一个大的正方形。
2、通过割补拼接的方式，将两个正方形拼成一个大的正方形，此时这个大正方形的面积为（a+b）^2。
3、我们可以发现这个大正方形是由两个边长为a+b和a的正方形以及两个直角三角形组成的，直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c。
4、因此，这个大正方形的面积也可以表示为（a^2+b^2+2ab），即（a+b）^2=a^2+b^2+2ab。
利用面积相等证明：
1、画两个直角三角形，一个直角边长为a，斜边长为c，另一个直角边长为b。
2、将这两个直角三角形放在一起，组成一个大的直角三角形。
3、通过割补拼接的方式，将这两个直角三角形拼成一个大的直角三角形，此时这个大直角三角形的面积为（1/2）ab+（1/2）ac+（1/2）bc。
4、同时，我们可以发现这个大直角三角形是由一个边长为c的正方形和两个直角三角形组成的，其中直角三角形的直角边分别为a和b。
5、这个大直角三角形的面积也可以表示为（1/2）c^2+（1/2）ab+（1/2）ac+（1/2）bc=（1/2）c^2+（1/2）（a^2+b^2+2ab）=（1/2）（a^2+b^2+c^2）。因此，我们得到结论：a^2+b^2=c^2。这就是勾股定理的证明过程。
勾股定理的应用：
1、确定直角：在建筑和制造领域，经常需要确定一个角是否是直角。通过勾股定理，可以测量出角的度数，从而判断是否是直角。
2、长度测量：勾股定理可以用来测量不可直接测量的距离。例如，可以通过测量两个已知距离的点的角度，然后使用勾股定理计算出未知距离。
3、建筑设计：在建筑设计中，勾股定理被用来确定建筑物的位置和形状。例如，可以使用勾股定理确定建筑物的各个墙角的位置。
4、航海：在航海中，勾股定理被用来确定船只的位置和方向。通过测量太阳或星星的角度，可以计算出船只的纬度和经度。
5、气象预测：在气象预测中，勾股定理被用来确定风的方向和速度。通过测量风向和风速的角度，可以计算出风的方向和速度。