第1个回答 2019-07-01
1)ξ1,ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,
所以Aξ1=λξ1,Aξ2=λξ2,
Akξ1=λkξ1(k≠0)
A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
所以kξ1(k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量。
2)设ξ1+ξ2是A的特征向量
则存在
λ使得
A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
又ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量
所以Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2,
A(ξ1+ξ2)=λ1ξ1+λ2ξ2=λ(ξ1+ξ2)
(λ1-λ)ξ1+(λ2-λ)ξ2=0
(λ1-λ),(λ2-λ)不同时为0说明ξ1,ξ2线性相关与ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量矛盾
所以ξ1+ξ2不可能是A的特征向量。