特征值与特征向量证明题

Question

如题所述

Answer 1

1）ξ1，ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,
所以Aξ1=λξ1,Aξ2=λξ2,
Akξ1=λkξ1（k≠0)
A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
所以kξ1（k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量。
2）设ξ1+ξ2是A的特征向量
则存在
λ使得
A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
又ξ1，ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1，λ2的特征向量
所以Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2,
A(ξ1+ξ2)=λ1ξ1+λ2ξ2＝λ(ξ1+ξ2)
（λ1－λ）ξ1+（λ2－λ）ξ2＝0
（λ1－λ），（λ2－λ）不同时为0说明ξ1，ξ2线性相关与ξ1，ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1，λ2的特征向量矛盾
所以ξ1+ξ2不可能是A的特征向量。