一个逻辑问题

Question

命题 a、b、c。下面的逻辑关系永远成立吗？
若a、b => c,则a、非c => 非b.
例如：
命题a：x>0；
命题b：y>0；
命题c：xy>0.
若x>0且y>0 ==> xy>0
则x>0且xy<=0 ==> y<=0.
“库中之一bit”这位仁兄能否详细讲讲如何用真值表来判断两个命题是否是重言式？

Answer 1

复合命题：命题a为真且命题b为真则c为真。 按照你的假设：此复合命题为真；即可以把它当成是定理。
现在已知命题a为真且命题c为假，如果b为真的话，那么根据上定理，c应当也为真，可是这和已知c为假矛盾。所以b不为真，即为假。
也就是说后一个复合命题：a为真且c为假则b为假是真命题。
这样的情况在逻辑学里叫重言式。是重言式的两个命题是等价的，一个假另一假，一个真另一个真。
在逻辑学里，一般可通过真值表来判断两个命题是否是重言式。

补充：
逻辑学将复合命题看成是构成他的简单命题的函数。简单命题的取值只有真和假，分别用1和0表示。命题之间有逻辑联结词，由联结词可以构成复合命题，比如“且”叫析取词，用∧表示，“或”叫合取词，用∨表示，“非”叫否定词，用┘表示，“如果……那么……”用→表示。
这样你的复合命题就可以表示成：
（（a∧b）→c）和（（a∧┘c）→┘b）
而你要证明的命题是
（（a∧b）→c）→（（a∧┘c）→┘b）
每种联结词都有真值表，比如“且”的真值表：
c=a∧b
a b c
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
由真值表可以看出，复合命题c只有在a和b都为真的情况下才为真。

在比如
a b a→b
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
可以看出只有当a为真且b为假时，a→b才为假。

复合命题的真值表在联结词的基础上得到：比如复合命题（a∧b）→c）的真值表：
a b c （a∧b）→c）
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

Answer 2

若a、b => c,则a、非c => 非b 一定成立。

用反证法即可证明。
a、b => c即a、b条件均成立的情况下，c情况一定成立。
假设不能推出，即在a、非c条件下存在条件b成立的可能。
即存在a、b、非c同时成立的可能。但若a、b同时成立，又由
a、b => c可得c一定成立，与a、b、非c同时成立存在可能产生矛盾，
故假设错误，a、非c => 非b

Answer 3

a:x＞0
b:y＞0
c:xy＞0
若x＞0且y＞0则xy＞0
x＞0且xy＜0（这个地方你是不是少打了个=号，∵┐c好像应该是xy≤0,如果没有这个等号是不成立的，有这个等号就成立了）则y≤0

Answer 4

不是
a,b的交集是c
a，c的补集 的交集是 a的非b部分
a的非b部分 包含于b的补集，但b的补集不全是 a 的非b部分
希望你能明白为什么补集、交集的。

Answer 5

永远成立