高中数学如何发散思维高中数学如何才能做到一题多解

Question

如题所述

Answer 1

从不定积分的一题多解浅析高等数学的发散思维

龚友运

（华南师范大学

增城学院公共课教学部，广东

广州

511363）

摘要：发散思维是多方向性和开放性的立体思维方式，是创造性的核心.一题多解是培养发散思维最有效的途径之一.本文以计算不定积分的“一题多解”为例，给出发散思维在高等数学中的应用实例.

关键词：发散思维；收敛思维；一题多解；不定积分

发挥典型习题功能  åŸ¹å…»å‘散思维能力 

心里学表明，“发散思维是创造性思维中的一种，它是从不同角度和方法去解决某一问题的前提”。作为一个数学教师，怎样去培养学生的发散思维能力呢？莫过于在典型习题的“选、挖”上下功夫，也就是精选习题，挖掘习题中蕴含的数学思想方法、知识结构，通过对习题展开全方位的探索，从中培养学生的发散思维能力。下面以两道习题为例，进行一次有益尝试。 

一、典型习题 

例1、求证：A（3，1）、B（-2，-3）、C（8，5）三点共线。 

思路一：不难作出图形，由图可知，要证三点共线，只要证两线段长度之和等于第三条线段的长度。依两点间距离公式即可得证。 

思路二：由分比知识，看是否有一点是其它两点确定的线段的分点，事实如此。

∴θ=0，故A、B、C三点共线。 

思路七：求出经过两点A、B和A、C的直线方程，由两直线重合的充要条件，可知三点共线。 

因为经过A、B的直线方程是4x-5y-7=0，经过A、C的直线方程是4x-5y-7=0，由两直线重合的充要条件知：AB、AC两直线重合，即A、B、C三点共线。 

思路八：利用复数知识，求得A、B、C三点在复平面内所对应的复数分别为：

二、小结与启示 

通过上以两道题的解答，不难发现，第一题的每一种思路较简单，但涉及到的知识面较广，几乎把《解析几何》中的直线部分知识都用上了，也沟通了各知识点的联系，拓宽了学生解题的思路。第二题的解法思路较抽象，既要启发学生从宏观上的观察，又要从微观上入手，既要以被发现的问题为突破口，也要把思维视角进一步放开，帮助学生点拨，开启学生思路。这两道习题均发挥了习题的功能。所以，我们只要精选习题，挖掘习题中蕴含的数学思想方法、知识结构，牢牢抓住习题的功能，对习题展开全方位的探索，久而久之，学生的发散思维能力就能得到培养。

Answer 2

几何，是初中数学的重要组成部分，目的是培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。但是初中几何难学是绝大多数学生暴露出的短板和障碍，但凡遇到数学考试每张试卷的解答题（也就是俗称的大题部分）都会有几道几何题。那么初中几何难吗?对于不会的孩子来说，当然是难的!而对于喜欢几何的同学来说，却又是乐在其中了。

几何题的解答通常都需要通过动手作图来进行解答，而几何题考察了学生们空间构想能力以及几何模型的掌握能力，通常一道题目文字不多配上几个简单图形的几何题，让大多数学生苦思不得答案。但凡有一定难度的几何题都离不开辅助线的构造，能够正确地做出联系已知和未知的辅助线就能轻松解决问题，这是为什么一些学生觉得几何题很难，完全没有头绪，一些学生却觉得很简单的关键原因了。而作辅助线的依据就是我们平时学过的基本图形中包含的概念、公理、定理、性质、判断等等。

对于学生想轻松做好几何题，在日常学习中是需要下功夫的，几何题让学生束手无策的另一个原因是学生解法单一，思维不够灵活，即使遇见了相似的题型也无法解答。因此在平时的学习生活中教师就应该启发学生多角度思考问题，培养他们的发散思维能力，最有效的手段就是一题多解。下面为大家介绍一道初中经典几何题多思路解答的例子。

教材原题（人教版八下第69页14题）：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，利用△AME≌△ECF（ASA），易证AE=EF．

经典变试题：把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，求证：AE=EF。

法一：如图1， 在AB上取AG=EC，由△AEG≅△EPC(ASA)，可得AE=CP。

法二：如图2，在AC延长线上取CG=CP，由△ECP≅△ECG(SAS)，先得∠G=∠P=∠EAC（蝴蝶△），可得AE=CP。

法三：如图3，在AB延长线上取BG=BE，由△ABE≅△CBG(SAS)，先得AE=GC，且AE⊥GC，再证平行四边形GCPE（两组边分别平行），可得AE=CP。

法四：如图4，作EG⊥BC，交AC于G，易得△AEG≅△ECP（ASA），则AE=EP。

法五：如图5，作EG⊥BC，与PC的延长线交于点G，由△AEC≅△EGP(AAS)，可得AE=CP。

法六：如图6，作PG∥CD，EG⊥AC，PH∥BC，易得EC=HP=GP，∠ACE=∠G，∠AEC=∠EPG，再证△AEC≅△EGP，则AE=EP。