高等数学定积分奇偶性，计算

Question

如题所述

Answer 1

x是奇函数，积分为0

所以

原式=2∫(0,2)-√(4-x²)dx （几何意义，4分之1圆的面积）

=-2×π×2²÷4

=-2π

或：

式子可以分成两个部分，分别考察奇偶性和几何意义。

I=∫xdx - ∫√ dx

=0 - π*2²/2

=-2π

∫xdx 被积函数为奇函数，对称区间上定积分为0；

∫√ dx 可以看做是上半圆 x²+y²=4的面积.

扩展资料：

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

跟定积分原理一样
在[-a,a]上
若f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)
∫(-a,a) f(x) dx，令x=-u
=∫(a,-a) f(-u)*(-du)
=∫(-a,a) f(-u) du
=∫(-a,a) -f(u) du
=-∫(-a,a) f(x) dx，移项得
∫(-a,a) f(x) dx=0
同理∫(-a,a) f(x) dx = 2∫(0,a) f(x) dx若f(x)为偶函数

至于二重积分
若D关于x轴和y轴都是对称的
而且被积函数是关于x或y是奇函数的话，结果一样是0
例如D为x^2+y^2=1
则x，x^3，xy，xy^3，y^5，x^3y^3等等的结果都是0
不要以为xy和x^3y^3是偶函数，奇偶性是对单一自变量有效的
计算x时把y当作常数，所以对x的积分结果是0时，再没必要对y积分了

Answer 3

式子可以分成两个部分，然后分别考察奇偶性和几何意义。
I=∫xdx - ∫√ dx
=0 - π*2²/2
=-2π

∫xdx 被积函数为奇函数，对称区间上定积分为0；
∫√ dx 可以看做是上半圆 x²+y²=4的面积.

Answer 4

x是奇函数，积分为0
所以
原式=2∫(0,2)-√(4-x²)dx （几何意义，4分之1圆的面积）

=-2×π×2²÷4
=-2π追问

答案错误

答案16

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Answer 5

看被积函数，x为奇函数所以定积分为0。后面的为偶函数正常算就好了