如何用导数的定义求函数y=cosx的导数

Question

如题所述

Answer 1

具体回答如下：

△y/△x

=[cos(x+△x)-cosx]/△x

={cos[(x+△x+x)/2+(x+△x-x)/2]-cos[(x+△x+x)/2-(x+△x-x)/2]}/

△x=-2sin(x+△x/2)sin(△x/2)/△x

=-[sin(x+△x/2)]*[sin(△x/2)/(△x/2)]

y'=(cosx)'=(△x→0)lim{-[sin(x+△x/2)]*[sin(△x/2)/(△x/2)]}

=-{(△x→0)lim[sin(x+△x/2)]}*{(△x→0)lim[sin(△x/2)/(△x/2)]}

=-sinx*1

=-sinx

求导的意义：

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。

Answer 2

x和x+Δx那些都写出来。就是x+Δx余弦减x余弦除以Δx。然后将x+Δx的余弦展开成余余减正正的形式。然后Δx→0发现Δx的正弦趋于0，余弦趋于1。此时可先将余余项个原来x的余弦消掉（因为Δx的余弦可视为1）。此时将正正项的Δx的正弦与分母的Δx提出，留下一个-sinx，此时由于Δx→0，可将Δx的正弦与Δx看做相等，相除后等于1，最终剩下-sinx。

最终的相等是。。。单位圆你知道吧。。。

还是发图吧，希望可以帮到你，有用要给采纳哦～

Answer 3

△y/△x
=[cos(x+△x)-cosx]/△x
={cos[(x+△x+x)/2+(x+△x-x)/2]-cos[(x+△x+x)/2-(x+△x-x)/2]}/△x
=-2sin(x+△x/2)sin(△x/2)/△x
=-[sin(x+△x/2)]*[sin(△x/2)/(△x/2)]
y'=(cosx)'=(△x→0)lim{-[sin(x+△x/2)]*[sin(△x/2)/(△x/2)]}
=-{(△x→0)lim[sin(x+△x/2)]}*{(△x→0)lim[sin(△x/2)/(△x/2)]}
=-sinx*1
=-sinx

Answer 4

和差化积、运用重要极限 x/sinx =1