离散,一阶逻辑基本概念

Question

问一下,书上例4.5 (1)兔子比乌龟跑得快; (2)有的兔子比所有的乌龟跑得快.
(1)(2) 符号化 分别为: VxVy (F(x) /\ G(y)→H(x,y)) Ex(F(x) /\ Vy (G(y)→H(x,y)))
(V 代表全称量词, E 代表存在量词)
(2)中的 Vy 可不可以放在大括号的外面 改成 ExVy(F(x) /\ G(y)→H(x,y)) ? 这样对吗?
(1)中的 Vy可不可以放在括号里面 改成 Vx (F(x) /\ Vy(G(y)→H(x,y)))

放在外面 和里面有什么区别?

Answer 1

　　首先，量词的位置是绝对不能随便改动的，因为位置决定了量词的作用域——这就是“放在外面”和“放在里面”的区别。只有极少数的情况，改变作用域不影响命题的真值。

（2）原命题：Ex(F(x) /\ Vy (G(y)→H(x,y)))；含义是：
　　存在一些x：
　　　　x是兔子，并且，x对所有的y都满足：
　　　　　　如果y是乌龟，那么x比y跑得快；
变换：将Vy放在大括号的外面：ExVy(F(x) /\ G(y)→H(x,y))；它的含义是：
　　存在一些x，它（们）对所有的y都满足：
　　　　如果：x是兔子，并且，y是乌龟，那么：x比y跑得快；
它们都等价于：
　　存在一些兔子x，它（们）对所有的乌龟y，都满足：x比y跑得快。
可见，这个变换是正确的。

（1）将Vy放在大括号的里面：Vx (F(x) /\ Vy(G(y)→H(x,y)))；你这个式子的含义是：
　　对所有的x：
　　　　x是兔子，并且，x对所有的y都满足：
　　　　　　如果：y是乌龟，那么：x比y跑得快；
单看第一句：所有x都是兔子，就已经是错误的了，后面就不需要看了。

　　量词的变换，没有很多规律——或者说，量词的变换实在是太复杂、太多样化了，很难找到能解决各类问题的普遍规律。有规律的那些，也都是很简单的命题。比如：全称量词对合取，与顺序无关；存在量词对析取，与顺序无关。
　　你要记住一些最基本的变换；对于特殊的问题，要尽可能地向基本形式转换；实在转换不了了，最后一招就是去掉量词：
　　要知道，量词其实就是对个体域中多个对象的汇总；去掉量词，代之以具体的个体，那么谓词函数就变成了一个个具体的命题，然后用命题逻辑中的规律去分析它就可以了。

　　最后告诉你一个比较常用的规律：
（1）有的S是P：
　　Ex（S（x）∧P（x））；
（2）所有S是P；
　　Vx（S（x）→P（x））；
　　表面上看，全称量词和存在量词处于对等的地位，但从上面的公式可以看出，它们的区别是很大的。这也是你的问题中第2个命题变换正确而第1个变换错误的原因所在。
　　这里的谓词S（x）、P（x）和你的F（x）、G（x）都是对类型的判断，而不是对性质或关系的判断。它们表示x是某种类型的个体。除了全总个体域，没有哪个类型能包含所有的个体，所以它们都不能直接用于全称量词之下。
　　而全称量词对合取是可以任意变换的，所以，上述谓词也不能用在带全称量词的合取命题中。
　　当然，利用否定词，全称命题和存在命题可以互换：
（1′）并非所有S都不是P：
　　¬Vx（S（x）→¬P（x））；
（2′）并非存在S不是P：
　　¬Ex（S（x）∧¬P（x））；
这也算是全称量词和存在量词地位对等的一种表现吧。