证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f"(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1<x2，记(x1+x2)/2=x0，并记x2-x0=x0-x1=h，则x1=x0-h,x2=x0+h。
由拉格朗日中值公式得f(x0+h)-f(x0)=f'(x0+θ1h)h,f(x0)-f(x0-h)=f'(x0-θ2h)h，其中0<θ1<1,0<θ2<1。
两式相减，得f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h。
对f'(x)在区间[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f"(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h<ξ<x0+θ1h。
因为f"(ξ)>0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)，亦即[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
扩展资料：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)≤0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)≥0。
(⊙_⊙) 长见识了
好的 ok
追答可踩否？
追问上凸是什么样子的大概
追答如开口向下的抛物线就是上凸。
追问嗯嗯
追答“嗯嗯” 是啥表示？
追问嗯 明白了
追答可踩吗？
追问可以 不过已经评价了哎
追答您的采纳是对我的最大鼓励。
追问呵呵 好的 亲
追答很高兴你已经答应了，可是我还没看见。
追问额…… 好吧
追答真的真的很高兴你已经答应踩了，可是我还没看见。
本回答被网友采纳好的 谢谢
追答......
能采纳不
二阶导数就是导数的导数，反映原函数导数的变化，二阶导数大于0，说明原函数的导数是递增的，也就是斜率不断增大，联想一下凹函数和凸函数的图像，易得 是凹函数。
嗯嗯 很清楚的说明 哈哈！
追答高中数学里没这些内容，老师也不讲，我看了一点竞赛书才知道这些知识.....
竞赛书里把这些分为上凸函数和下凸函数，因为凹函数和凸函数定义千奇百怪，很难说.....
也有几种说法：凹凸性是指凹凸向原点，这么说的话，二阶导数大于0，凸向原点，是凸函数......这么以来，2楼是对的了
反正，如果回答【下凸函数】的话 肯定是对的。
唔 我晕了
嗯 很感谢二位 大概是懂了 呵呵
追答http://baike.baidu.com/link?url=ZyPA6QM6iB5JDp7YovpZhiyv9yHQndwviR-UWYyydsYqz12yxcivcmu3rXOgKSDbLMk4SqlqWnmUnUUwgbpN9a
又查到一资料，应该是凹函数了，2楼所指的凹凸性应该是经济学里面的，与数学里的相反。
求采纳啊，半夜放学回来码字不容易......
今晚只能到这儿了，希望链接对你有帮助
嗯呢 当然 学生党么你也是