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设AB是两个相似的n阶矩阵
设A
与
B是两个相似n阶矩阵
,则λE-A= λE-B 对吗
答:
A与
B相似
,即存在可逆
矩阵
T使得B=T逆AT,|λE-B |=|λE-T逆AT |=|λT逆T-T逆AT |=|T逆(λE-A)T |=|λE-A|,证毕。
设A
.
B是两个N阶矩阵
,证明:如果A可逆,那么
AB
与BA
相似
答:
矩阵相似的
定义: 如果存在可逆矩阵P,使得P^(-1)*A*P = B,则称
矩阵A
与
B相似
,记作A~B.(P^(-1)表示P的逆矩阵) 对于这个题目,既然告诉A可逆,就从A入手.考虑A^(-1)*(
AB
)*A = [A^(-1)*A]*(BA) = E*(BA) =BA E表示单位阵. 所以,存在可逆矩阵A,使得A^(-1)*(AB)*A=BA...
设A
.
B是两个N阶矩阵
,证明:如果A可逆,那么
AB
与BA
相似
答:
矩阵相似的
定义:如果存在可逆矩阵P,使得P^(-1)*A*P = B,则称
矩阵A
与
B相似
,记作A~B.(P^(-1)表示P的逆矩阵)对于这个题目,既然告诉A可逆,就从A入手.考虑A^(-1)*(
AB
)*A = [A^(-1)*A]*(BA) = E*(BA) =BA E表示单位阵.所以,存在可逆矩阵A,使得A^(-1)*(AB)*A=BA.根据...
设A
.
B是两个N阶矩阵
,证明:如果A可逆,那么
AB
与BA
相似
答:
矩阵相似的
定义:如果存在可逆矩阵P,使得P^(-1)*A*P = B,则称
矩阵A
与
B相似
,记作A~B。(P^(-1)表示P的逆矩阵)对于这个题目,既然告诉A可逆,就从A入手。考虑A^(-1)*(
AB
)*A = [A^(-1)*A]*(BA) = E*(BA) =BA E表示单位阵。所以,存在可逆矩阵A,使得A^(-1)*(AB)*A=...
设A
.
B是两个N阶矩阵
,证明:如果A可逆,那么
AB
与BA
相似
答:
简单计算一下即可,答案如图所示
设n阶矩阵
A与
B相似
,且
A的
秩r(A)=r,A^
2
=-2A,则|B+E|=什么?tr (E+B)=...
答:
所以 A^
2
+2A = 0 所以 A 的特征值只能为 0 和 -2.而B与
A相似
,所以
B的
特征值为0,-2,且 r(B)=r 所以 B 的特征值为 n-r 个0,r个-2 [ A,B可对角化?]所以 B+E 的特征值为 n-r 个1,r个-1 所以 |B+E| = (-1)^r tr(B) = n-r -r = n-2,4,
设n阶矩阵
A与B...
设n阶矩阵
A与
矩阵B相似
,证明A与B有相同的特征多样式
答:
证: 由已知,存在可逆
矩阵
P, 满足 P^-1AP =
B
所以 |B-λE| = |P^-1AP-λE| =|P^-1(A-λE)P| =|P^-1||A-λE||P| =|A-λE| 即A与B有相同的特征多项式
设A
,
B是n阶矩阵
,A与
B相似
且A适合A^2=A,证明B^2=B
答:
A与
B相似
,则 B=PA[P^(-1)],其中P为可逆阵 B^
2
=B*B =PA[P^(-1)]PA[P^(-1)]=PA*A[P^(-1)]=P(A^2)[P^(-1)]=PA[P^(-1)]=B
设A
,
B为两个n阶
正定
矩阵
,证明:
AB为
正定矩阵的充要条件是AB=BA.
答:
所以 (AB)^T=AB 所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB.(充分性) 因为 AB=BA 所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB 所以
AB 是
对称
矩阵
.由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.故 AB = P^TPQ^TQ 而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB
相似
故 AB 正定.
设A
,
B为n阶矩阵
,A可逆,则
AB相似
于
BA
答:
简单分析一下,答案如图
<涓婁竴椤
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10
涓嬩竴椤
灏鹃〉
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