试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中,摩擦力做的功？如果运用微积分来求解变力做功尽量详细高手进

Question

如题所述

Answer 1

如图，设在任意时刻，小车与竖直线夹角为a，速率为v

由受力分析有：N-mgcosa=mv^2/R    (向心力)

摩擦力：f=μN

∴f=μN=μ(mgcosa+mv^2/R)

小车再向前移动微小位移ds时，对圆心转过的角度为da

则有：ds=Rda

此时，摩擦力做功为

dW=fds=μ(mgcosa+mv^2/R)*Rda=μm(gRcosa+v^2)da

小车从最低点运动到最高点，a由0到π/4

对功积分，可得摩擦力所做的功为

W=∫dW

=∫<0,π/4>μm(gRcosa+v^2)da

=<0,π/4>μm(gRsina+av^2)

=μm[gRsin(π/4)+(π/4)*v^2]

=μm[(√2/2)gR+(π/4)*v^2]

追问

为什么
小车从最低点运动到最高点，a由0到π/4？

追答

不好意思，错了，应该是最低点到最高点，a由0到π/2
摩擦力所做的功为
W=∫dW
=∫μm(gRcosa+v^2)da
=μm(gRsina+av^2)
=μm[gRsin(π/2)+(π/2)*v^2]
=μm[gR+(π/2)*v^2]

Answer 2

这道题目曾经在物理竞赛中出现过，解答如下：
由最低点运动四分之一圆周时，在其中取一微小的位移ds，算出对斜面的压力为：从而可再算出对应位移中所做的功为：W1
在第二个四分之一圆周运动时，同理可计算出W2
再计算出这两部分微小位移中的摩擦力的总功为：W1+W1
所以小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做的功为：W=πmv^2

Answer 3

由题意 ω=v/R 元路程ds=Rdωt

变力功元功

dw=μmgcosads=μmgcosads =μmgcosadRωt=Rμmgcosωtdωt

设最低点a=0  最高点a=ωt=π/2   总功

∫dw=∫(0-->π/2)Rμmgcosωtdωt

w=(0-->π/2)-Rμmgsinωt=-Rμmg