设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶连续导数，证：存在ξ∈（a,b）使(如图)

Question

用拉格朗日中值定理怎么证明

Answer 1

x0=(a+b)/2,由泰勒公式：
f(b)=f(x0)+f'(x0)(b-x0)+f''(ξ1)(b-x0)^2/2
f(a)=f(x0)+f'(x0)(a-x0)+f''(ξ2)(a-x0)^2/2
相加：f(b)+f(a)=2f(x0)+(b-a)^2[f''(ξ1)+f''(ξ2)]/8
由于二阶导数连续，由介值性定理：存在ξ使：[f''(ξ1)+f''(ξ2)]/2=f''(ξ)
代入即可追问

我想用拉格朗日中值定理的方法证明

Answer 2

这是中值定理的应用的题目。可考虑分别对
f(b)-f[(a+b)/2]，f[(a+b)/2]-f(a)
用Lagrange中值定理，再用一次Lagrange中值定理，即可得。追问

假设f'(ξ1)=f(b)-f[(a+b)/2][(b-a)/2],f'(ξ2)=f[(a+b)/2]-f(a)][(b-a)/2]，然后用拉格朗日，得f(b)-2[f(a+b)/2]+f(a)=1/2f''(ξ)(ξ1-ξ2)(b-a) 怎么证明ξ=(ξ1-ξ2)/2?

追答

　　上面的想法有问题，换一个：
　　构造函数
F(x)=f[x+(b-a)/2]-f(x)，
在区间[a, (a+b)/2]上用Lagrange 中值定理，得
F[(a+b)/2]-F(a) = F'(η)((a+b)/2-a)，η ∈ (a, (a+b)/2)
　　 = {f'[η+(b-a)/2] - f'(η)}[(b-a)/2]，
再在[η, η+(b-a)/2]上用Lagrange 中值定理，得
　　{f'[η+(b-a)/2] - f'(η)} = f''(ξ)[(b-a)/2]，ξ ∈ (η, η+(b-a)/2)含于(a, (a+b)/2)，
而
　　 F[(a+b)/2]-F(a)=f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)，
所以得证。

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