（2012?崇安区二模）直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，BC=43，CD=8．过C点且垂直于AC的直线l以每

Question

（2012?崇安区二模）直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，BC=43，CD=8．过C点且垂直于AC的直线l以每秒2个单位的速度沿CA向A点运动；与此同时，点P、Q分别从A、B出发向C点运动，P点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒3个单位，设P、Q点与直线l的运动时间为t．（1）试说明△ACD为等边三角形．（2）t为何值时，以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线l相切？（3）求梯形ABCD与直线l在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）．

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=4

3

，
∴tan∠ACB=

AB

BC

=

3

3

，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB=8，
∵AB∥CD，CD=8，
∴∠BCD=90°，AC=CD，
∴∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形．

（2）连接PQ，作PH⊥AB于H，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴PH∥BQ，∠BAC=60°，
在Rt△APH中，∠APH=30°，AP=2t，
∴AH=AP?cos60°=t，PH=AP?sin60°=

3

t，
∵BQ=

3

t，
∴PH=BQ，
∴四边形PHBQ是矩形，
∴PQ=BH=4-t，
设直线l与AC的垂足为E，若⊙P与l相切，则PE=PQ，
∵CE=2t，AC=AP+PE+CE或AC=AP+CE-PE，
即2t+（4-t）+2t=8或2t+2t-（4-t）=8，
解得：t=

4

3

或t=

12

5

；

（3）设直线l在运动过程中，与CD与AD的交点为M，与BC，AB的交点为N，与AC的交点为E，
当直线过点D时，
∵CD=8，∠ACD=60°，CE=2t，
∴CD=2CE=4t=8，
∴t=2；
当直线l过点B时，CN=

CE

cos30°

=

4 3

3

t=4

3

，
∴t=3