求∫[1/√(a²+x²)]dx不定积分

Question

那个是（a²+x²)开根号。

Answer 1

原式=(1/a)∫1/√[1+(x/a)²]dx令x/a=tanu，

则x=atanu，dx=asec²udu，

故原式=(1/a)∫asec²udu/√(1+tan²u)

=∫seudu=ln(secu+tanu)+C₁

=ln[(1/a)√(a²+x²)+(x/a)]+C₁

=ln[x+√(a²+x²)]-lna+C₁

=ln[x+√(a²+x²)]+C，其中C=-lna+C₁

记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

Answer 2

求∫[1/√(a²+x²)]dx不定积分解：原式=(1/a)∫1/√[1+(x/a)²]dx令x/a=tanu，则x=atanu，dx=asec²udu，故原式=(1/a)∫asec²udu/√(1+tan²u)=∫seudu=ln(secu+tanu)+C₁=ln[(1/a)√(a²+x²)+(x/a)]+C₁=ln[x+√(a²+x²)]-lna+C₁=ln[x+√(a²+x²)]+C，其中C=-lna+C₁

Answer 3

被积函数提出a以后得到
∫1/根号(a^2+x^2)dx = ∫1/根号(1+(x/|a|)^2) d(x/|a|) =arcsinh (x/|a|) +C
注意是arcsinh不是arcsin追问

最终怎样化为ln[x+√(x²+a²)]呢

追答

arcsinh(x/|a|)+c=ln[x/|a|+根号((x/a)^2 +1)] +C
=ln[x+根号(x^2+a^2)) - ln|a| +C
=ln[x+根号(x^2+a^2)) +C
楼主这些基础函数的变化功力需要提高/:)

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Answer 4

追问

大神，请问有过程吗？

Answer 5

∫ dx/√(a^2+x^2)
let
x = atany
dx= a(secy)^2 dy
∫ dx/√(a^2+x^2)
=∫ secy dy
=ln|secy+tany| + C
=ln| (√(a^2+x^2)+x ) /a | + C本回答被网友采纳