矩阵的秩在什么情况下为0

Question

如题所述

Answer 1

矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。

参照定理：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射f，都存在矩阵A使得 f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵 A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。

矩阵 A称为 fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 n减 f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 f的像的维度。

扩展资料

秩线性映射的推广：

只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射，当且仅当 A有秩 n（在这种情况下，我们称 A有“满列秩”）。f是满射，当且仅当 A有秩 m（在这种情况下，我们称 A有“满行秩”）。在方块矩阵A（就是 m= n) 的情况下，则 A是可逆的，当且仅当 A有秩 n（也就是 A有满秩）。

如果 B是任何 n× k矩阵，则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推广到若干个矩阵的情况，就是：秩（A1A2...Am)≤min（秩（A1），秩（A2）。

秩（Am)) 证明：考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为 f和 g，则秩（AB)表示复合映射 f·g，它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。

参考资料：百度百科—秩

Answer 2

考虑秩的定义. 若有某个矩阵系数不为0, 则矩阵秩至少是1. 因此矩阵秩为0当且仅当矩阵系数全部是0, 或者说是0矩阵.本回答被网友采纳

Answer 3

首先明白矩阵为0矩阵的意思就是矩阵任何一个元素均为0，同理一个矩阵只要不是0则矩阵必有至少一个元素不为0。
秩的定义通俗理解就是若A为3*3方阵,r(A)=2即秩为2代表A的三行或三列向量有两行或两列线性相关对于行列式A来说就是这两行或两列对应成比例，所以有效向量可以看作1再加上剩下的那一行或列就是2也就是矩阵的秩 。
以下是规范定义，对于n阶方阵A r(A)=k，即存在k阶子式不为0，对任意k+1阶子式全为0。k阶子式就是对A任取k行k列的交点元素组成的k阶新矩阵的行列式，同理k+1阶类似，当然k一定小于n。所以r(A)=0 k为0，必有k+1也就是1阶子式全为0即原来A中任意一个元素均为0再看开头矩阵A为0的定义就可以得出A必为0矩阵。
结论:矩阵A为0与矩阵的秩为0是充要条件，同理矩阵A不为0的充要条件为秩大于等于1，这个可以反证。
纯手打望采纳

Answer 4

这个矩阵是零矩阵时，矩阵的秩为0；

这个矩阵是非零矩阵且每行成比例时，或者矩阵是只有一行或者只有一列时，矩阵的秩为1。

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。 

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

扩展资料：

矩阵的秩的性质：

1、转置后秩不变；

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵；

3、r(kA)=r(A),k不等于0；

4、r(A)=0 <=> A=0；

5、r(A+B)<=r(A)+r(B)；

6、r(AB)<=min(r(A)，r(B))；

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)。